20xx屆廣東省汕頭市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題(解析版)(更新版)
【正文】 根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）首先求出甲同學(xué)每道題選擇回答并答對的概率，選擇回答且答錯的概率，選擇放棄回答的概率，依題意的可能取值為，0，2，3，4，7，8，12，求出所對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；【詳解】解：（1）甲同學(xué)進(jìn)入決賽的概率為：.（2）依題意得，甲同學(xué)每道題選擇回答并答對的概率為，選擇回答且答錯的概率為，選擇放棄回答的概率為.的可能取值為，0，2，3，4，7，8，12.所以，，，所以的分布列為：02347812.21．已知橢圓：其左、右焦點分別為、且離心率為，點為橢圓的一個頂點，三角形的面積為2.（1）求橢圓的方程；（2）若點為橢圓的左頂點，點在橢圓上，線段的垂直平分線與軸相交于點，若為等邊三角形，求點的橫坐標(biāo).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角形的面積、離心率以及列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則橢圓的方程可求；（2）設(shè)出點坐標(biāo)，表示出的垂直平分線方程，由此確定出點坐標(biāo)，再根據(jù)為等邊三角形可得，由此列出關(guān)于的等式并結(jié)合橢圓方程求解出點坐標(biāo).【詳解】（1）由題意有：解得：所以橢圓的方程為：（2）方法1：設(shè)，則，且，若點為右頂點，則點為上（或下）頂點，此時不是等邊三角形，不合題意，所以，.設(shè)線段中點為，所以，因為，所以，因為直線的斜率，所以直線的斜率，又直線的方程為，令，得到因為，所以，因為為正三角形，所以，即化簡，得到，解得，（舍）故點的橫坐標(biāo)為.方法2：設(shè)，直線的方程為.當(dāng)時，點為右頂點，則點為上（或下）頂點，此時不是等邊三角形，不合題意，所以.聯(lián)立方程，消元得，所以，所以，設(shè)線段中點為，所以，所以，因為，所以，所以直線的方程為，令，得到，因為為正三角形，所以，所以，化簡，得到，解得，（舍），所以，故點的橫坐標(biāo)為.方法3：設(shè)，當(dāng)直線的斜率為0時，點為右頂點，則點為上（或下）頂點，此時不是等邊三角形，不合題意，所以直線的斜率不為0.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消元得，所以，設(shè)線段中點為，所以，所以，因為，所以，所以直線的方程為，令，得到因為為正三角形，所以所以化簡，得到，解得，（舍）所以，故點的橫坐標(biāo)為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題第二問的關(guān)鍵在于垂直平分線方程的求解以及將的結(jié)構(gòu)特點轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系去求解坐標(biāo)，在計算的過程中要注意利用點坐標(biāo)符合橢圓方程去簡化運算.22．已知.（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）先求得函數(shù)，進(jìn)而再得恒成立，判斷在上為單調(diào)遞增，即可得到最小值；（2）由不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)在，恒成立，再對，進(jìn)行討論即可得到結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域為，∵，恒成立，故在上單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時，當(dāng)時，∴.（2）若原式成立，即恒成立，令，∵，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由知恒成立，故成立；當(dāng)時，故不成立；當(dāng)時，∴，∴在上有唯一零點，且，當(dāng)時，當(dāng)時，∴，則，即，∴，故成立，所以，綜上所述.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題．不等式恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決．解決該類問題時要注意考慮函數(shù)的定義域．第 26 頁 共 26
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