無窮級(jí)數(shù)求和的方法(完整版)
【正文】 （六） 利用傅立葉級(jí)數(shù)求和法 例 1 求2 2 21 1 11 3 5 7? ? ? ?的和。 解：此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 ?? ，在任意區(qū)間上可逐項(xiàng)積分。 這是一種簡單、常用的方法，適用于一些簡單的級(jí)數(shù)求和問題。 （ 2）、 泰勒展開式 (冪級(jí)數(shù)展開法 ) f(x)=f(a)+f39。 包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（又包括冪級(jí)數(shù)、 Fourier 級(jí)數(shù)；復(fù)變函數(shù)中的泰勒級(jí)數(shù) 它是表示函數(shù)、研究數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。因此在生產(chǎn)與自然科學(xué)中大量地存在。limits 3 一、引言 無窮級(jí)數(shù)是研究有次序的可數(shù)無窮個(gè)數(shù)或者函數(shù)的和的收斂性及和的數(shù)值的方法，理論以數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有發(fā)散性和收斂性的區(qū)別。 as = 1 2 3 ... ...na u a u a u a u? ? ? ? ? （ 2） 、 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或相減，如有兩個(gè)無窮級(jí)數(shù)： s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?和 t = 1 2 3 ... nv v v v? ? ? ? 則 s+t= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?+ 1 2 3 ... nv v v v? ? ? ? （ 3 ）、 級(jí) 數(shù)前 面 加上 有 限項(xiàng) 或減 去 有限 項(xiàng) 不影 響其 收 斂性 ， 如 ：s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?和 s =1u 這兩個(gè)級(jí)數(shù)的收斂性是一樣的。 證明 級(jí)數(shù)的部分和221 1 1a r c ta n a r c ta n a r c ta n2 2 2 2nS n? ? ? ???， 注意到公式 a r c ta n a r c ta n a r c ta n1?? ????? ???，有 22 22111 1 22 2 2a r c ta n a r c ta n a r c ta n a r c ta n112 2 2 312 2 2S? ?? ? ? ???? ?， 32 221 2 1 3a r c ta n a r c ta n a r c ta n a r c ta n2 3 3 2 3 4SS? ? ? ? ???， 用數(shù)學(xué)歸納法易證 a r c ta n ( 1 , 2 , )1n nSnn???， 因此， lim lim a r c ta n 14nnn nS n ?? ? ? ????， 從而21 1arctan 2n n?? ??收斂，和為 4? 。 這種方法的基本思想是：欲求的和1 nn u???令 nnnua?? ，若冪級(jí)數(shù) nnnu ax? 函數(shù)已知，設(shè) () nnf x a x? ，則11 ()nnnnnu a f??????????。( ) ( 1 ) 1 1nnnf x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 所以 300 1( ) 39。 解：收斂半徑1111l im2 4 6 2 ( 2 2)l im12 4 6 2nn nnR annan?????? ? ? ??? ? ? ???（令 n 為偶數(shù)）， 同理可求 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，收斂半徑 R??? 。我們把 2{}nS 與 21{}nS ? 稱為互補(bǔ)子序列。取球方法和取得勝利的條件不變，則依據(jù)前述分析，得到全部取得勝利的概率是： 2 2 2 2 2 2 2( ) [ 1 ( ) ] ( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ) ] ( )1 1 2 1a a a a a a aa b a b a b a b a b a b n a b n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 5） 下面我們來求這個(gè)級(jí)數(shù)的和，在各次實(shí)驗(yàn)中，取得勝利的概率依次是： 2 2 2( ) , ( ) , , ( ) ,11a a aa b a b a b n? ? ? ? ? ? 各次實(shí)驗(yàn)失敗的概率依次是： 2 2 21 ( ) , 1 ( ) , , 1 ( ) ,11a a aa b a b a b n? ? ?? ? ? ? ? ? 這樣在所有各次實(shí)驗(yàn)中都失敗的概率是： 2 2 2l im [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]11n a a aa b a b a b n?? ? ? ?? ? ? ? ? ? =22( 2 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 )l im ( ) ( 1 ) ( 1 )n b a b b a b b n a b na b a b a b n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 )l im ( ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nb b b a a b n a b n a b na b a b a b b n b n a b n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 于是得到全部取得勝利的概率為 ( 1 ) ( 1 )1 ( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 因此，（ 5）式的和為 16 ( 1 ) ( 1 )1 ( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 特別地當(dāng) a=1,b=3 時(shí)，易得（ 3）式；當(dāng) a=1,b=r1時(shí)，易得（ 4）式。 q 求和方法的探討 [J]．唐山學(xué)學(xué)報(bào) 。此外，還有利用微分方程傅立葉級(jí)數(shù)，以及利用在復(fù)數(shù)域內(nèi)比較實(shí)部、虛部的方法去求級(jí)數(shù)的和，在這里就不一一列舉了。 （十）轉(zhuǎn)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 例 1求級(jí)數(shù) nn n20 )2/1()]12/(1[??? ?的和函數(shù) 解：因?yàn)榧?jí)數(shù) ?????012)]12/(1[nnxn 的收斂域?yàn)椋?1， 1） 則令 S(x)=?????012)2/1) ] (12/(1[nnn 12 所以)1
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