無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法(存儲(chǔ)版)
【正文】 2 1 ! 2nnnn?? ? ? ??? 例 2 求 21 !nnn??? 解： 21 1 1 2( 1 ) 1 1! ! ( 1 ) ! ( 2 ) !n n n nn n n nn n n n? ? ? ?? ? ? ???? ? ???? ? ? ?。 再令 3101( ) ( 1 ) 31nnnf x xn? ???? ??，有 (0) 0f ? 此冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?(1,1]? ，下面求 ()fx的表達(dá)式。 10 （七） 利用歐拉常數(shù)法 例 1求11(2 1)nS nn??? ?? 解：111 1 2()( 2 1 ) 2 1nnnkkS k k k k??? ? ????? 11 1 1 12 ( )3 5 2 1nk kn?? ? ? ? ? ?? 11 1 1 1 2 1 1 12 ( 1 ) 2 ( 1 )2 3 2 2 1 2 4 2nk k n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2111 1 22 2 221nnkkk k n??? ? ? ???? 2 22 ( l n ) 2 ( l n 2 ) 221nnc n c n n??? ? ? ? ? ? ? ?? 2 22 2 l n 2 2 2 2 2 l n 2 ( )21nn nn??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 即 2 2ln2S?? 極限11lim( ln )nn k nk?? ? ??的值為所謂的歐拉常數(shù)，設(shè) 為 c （ ? ） 則有：11 lnn nk nck ?? ? ? ??，其中 lim 0nn ??? ?，利用上式，可求某些數(shù)值級(jí)數(shù)的和。因此，對(duì)于級(jí)數(shù)1 nn a???，若通項(xiàng) 0na? （當(dāng) n?? 時(shí)），則部分和的子序列 2{}nS 收斂于 S 。因此，在所有各次實(shí)驗(yàn)中全部失敗的概率為： 2 2 21 1 1lim (1 ) (1 ) (1 )23n n?? ? ? ? 2 2 22 2 22 1 3 1 1l i m ( ) ( ) ( )23n n n?? ? ? ?? 13 2 2 21 3 2 4 [ ( 3 ) ( 1 ) ] [ ( 2 ) ] [ ( 1 ) ( 1 ) ]l im 23n n n n n n nn?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 11lim 22n n n?? ??? 就是說，所有各次實(shí)驗(yàn)全部失敗的概率是 12，勝利的概率是 11122?? 下面直接研究勝利的概率： 第一次勝利，其概率為212；第一次失敗，第二次勝利，其概率為2211(1 )23?? 第一次、 第二次失敗，第三次勝利，其概率為2 2 21 1 1(1 ) (1 )2 3 4? ? ? ? 第一次、 第二次、 、第 1n? 次失敗，第 n 次勝利，其概率為2 2 2 21 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 3 ( 1 )nn? ? ? ? ? ? 這樣，全部實(shí)驗(yàn)取得勝利的概率是： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 2 3 4 2 3 ( 1 )nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 但已知取得勝利的概率為 12 ，從而求得： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 2 3 ( 1 ) 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 1） （ 2） 改變上述概率問題 容器里裝有 3個(gè)球， 1 個(gè)紅球， 2個(gè)黑球，實(shí)驗(yàn)方法和取得的條件不變，那么，在各次實(shí)驗(yàn)中，取得勝利的概率依次是： 2 2 21 1 1, , , ,3 4 ( 2 )n ? 各次實(shí)驗(yàn)失敗的概率依次是：2 2 21 1 11 , 1 , , 1 ,3 4 ( 2)n? ? ? ?，這樣，在所有各次實(shí)驗(yàn)中都失敗的概率 2 2 21 1 1l i m (1 ) (1 ) [1 ]3 4 ( 2)n n?? ? ? ? ? 2 2 2 22 2 2 23 1 4 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1l i m ( ) ( ) [ ] [ ]3 4 ( 1 ) ( 2 )n nnnn?? ? ? ? ? ? ?? ?? 14 2 2 2 22 4 3 5 ( 2) ( 1 ) ( 3 )l im ( ) ( ) [ ] [ ]3 4 ( 1 ) ( 2)n n n n nnn?? ? ? ? ? ?? ?? 2( 3) 2lim 3( 2) 3nnn?????? 勝利的概率就是： 21133??。 1978． [6]陳傳璋．?dāng)?shù)學(xué)分析 [M]．北京：人民教育出版社。 參 考文獻(xiàn) ： [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系。假如失敗，則再多放 1 個(gè)黑球，這樣繼續(xù)進(jìn)行，以致無(wú)窮，問取得勝利的概率如何？ 在各次不同的實(shí)驗(yàn)中，取得勝利的概率依次是：2 2 21 1 1, , , ,23 n。 11 思想 :設(shè)法證明級(jí)數(shù)的和滿足某個(gè)方程式，然后求此方程的解，即得級(jí)數(shù)的和。 解：將函數(shù) ||x 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級(jí)數(shù)得： 224 c o s 3 c o s 5| | ( c o s ) , [ , ]2 3 5xxx x x? ???? ? ? ? ? ? ? 令 x ?? ，則 22 2 21 1 11 3 5 7 8?? ? ? ? ? 類似地，將 2()f x x? 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級(jí)數(shù)后，令 x ?? 可得： 221 1 6n n ??? ?? 令 0x? 可得： 1221 ( 1) 12nn n????? ?? 將 ()f x x? 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級(jí)數(shù)后， 令 2x ?? ，可得： 11( 1)2 1 4nn n????? ??? 在將某些函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，往往得到一些比較規(guī)范的三角級(jí)數(shù)展開式。 222 2 10 0 0001 1 ( )(
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