無窮級數(shù)求和的方法-預(yù)覽頁
【正文】 ion and the existence of large numbers of natural sciences. Summation of infinite series. In the usual textbooks on the forward and speak generally small and scattered, introduced in this paper focuses on the series for a number of ways. Keywords: infinite series。 1 各專業(yè)全套優(yōu)秀畢業(yè)設(shè)計圖紙 各專業(yè)全套優(yōu)秀畢業(yè)設(shè)計圖紙 目 錄 中文摘要 …………………………………………………………… 2 英文摘要 …………………………………………………………… 2 一、引言 …………………………………………………………… 3 二、無窮級數(shù)的性質(zhì)及常見的幾種級數(shù) ………………………… 3 三、無窮級數(shù)求和的方法舉例 （一） 利用級數(shù)和的定義 ………………………………………… 5 （二） 裂項相消法 ……………………………………………… 6 （三） 拆項求和法 …………………………………………… … 7 （四） 利用已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式求和 …………………… 7 （五） 逐項微分與逐項積分法 ………………………………… 8 （六） 利用傅里葉級數(shù)求和法 ………………………………… 9 （七） 利用歐拉常數(shù)法 ……………………………………… 10 （八） 方程式法求和 ………………………………………… 11 （九） 利用子序列的極限 …………………………………… 11 （十） 轉(zhuǎn)化為函數(shù)項級數(shù)的和 ……………………………… 12 （十一） 利用概率求一類函數(shù) ………………………………… 12 四、總 結(jié) ……………………………………………………… 16 五、 參考文獻(xiàn) ………………………………………………… 16 2 無窮級數(shù)求和的方法 伊杰文 摘要 ： 無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具。在通常的論著和教材中一般都講得很少，而且介紹分散，本文集中介紹了幾種求級數(shù)的方法。只有無窮級數(shù)收斂時有一個和；發(fā)散的無窮級數(shù)沒有和。無窮級數(shù)的求和方法。 （二）、常見的幾種級數(shù) （ 1）、 冪級數(shù) 如下形式的函數(shù)項級數(shù) 4 0 0 1 01 ( ) ( ) . . . ( )nnn n nn a x x a a x x a x x?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 、 、 、 稱為（ x 0x ）的冪級數(shù)，其中 na （ n=0,1,2,… ）為常數(shù)。39。 如果級數(shù)1 nn u???的部分和數(shù)列 {}nS 有極限 S ，即 limnn S??=S，則稱無窮級數(shù)1 nn u???收斂，這時極限 S 叫做這級數(shù)的和，并寫成 12 nS u u u? ? ? ? ?，如果 {}nS 沒有極限，則稱 6 無窮級數(shù)1 nn u???發(fā)散。 （三） 拆項求和 求級數(shù) ??? ?1 )!1/(n nn的和 解：因為 )!1/(1!/1)!1/(11)!1/( ???????? nnnnnn 所以前 n項和 Sn=[1(1/2!)]+[(1/2!)+(1/3!)]+[（ 1/3?。?（ 1/4！） ]+… +[1/n!1/(n+1)!] 7 =11/(n+1)! 所以 1])!1/(11[lim)!1/(1 ????? ????? nnn nn （四） 利用已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式求和 例 1 求 ? ?0 ( 1) 2 1 !nnnn?? ? ??的和。此方法的關(guān)鍵是找出函數(shù) ()fx。 解：由萊布尼茲判別法知級數(shù)01( 1) 31nn n?? ? ??收斂，設(shè)其和為 S。( ) 1xxf x f t d t d tt?? ??? 9 21 1 1 2 1 1l n( 1 ) l n( 1 ) ( a r c ta n a r c ta n )36 3 3 3xx x x ?? ? ? ? ? ? ? 因此 1(1) ln 23 33Sf ?? ? ? 這種方法用于求某些函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)。此時，適當(dāng)選取自變量的取值，便可得到一些數(shù)值級數(shù)的和。 對已知級數(shù)兩邊逐項微分可得 39。 （九）利用子序列的極限 例 1 計算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( 1 ) ( ) ( )2 3 4 5 6 2 7 8 9 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解 ：此級數(shù)每項趨向零，因此只要求 3nS 的極限，注意公式 1 1 11 l n23 nn ?? ? ? ? ? ? ?， 其中 c 為 Euler 常數(shù)， 0n? ? （當(dāng) n?? 時），因此，對原級數(shù)， 3 1 1 1 1 1112 3 3 2nS nn? ? ? ? ? ? ? ? ? 3l n 3 l n l n 3nnnn ??? ? ? ? ?（當(dāng) n?? 時） 故原級數(shù)和 ln3S? 我們知道，若 2{}nS 與 21{}nS ? 有相同極限 S ，則 limnn SS?? ?。這個原理可推廣到一般：若1 nn a???的通項 0na? （當(dāng) n?? 時）， nS 的子序列 1{}npnSS?? ?（ p 是某個正整數(shù)），則1 nn aS?? ??。而在各次實驗中失敗的概率依次是：2 2 21 1 11 ,1 , ,1 ,23 n? ? ?。 四、總結(jié) 以上若干例題，介紹了常用的幾種求法。高等數(shù)學(xué)（下冊） [M].北京：高等教育出版社， 20xx [2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南 [M].北京：高等教育出版社， 20xx [3]裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M]北京：高等教育出版社， 20xx [4]趙樹原．微積分 [M]．北京：中國人民大學(xué)出版社 ， 1988． [5]徐利治．?dāng)?shù)學(xué)分析的方法及例題選講 [M]．北京 ：人民教育出版社 。 20xx，
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