【正文】 )1(nnnnu （ B ） ??? 12nnu （ C ） ?????1212)(nnnuu （ D ） ?????11)(nnnuu 因?yàn)???? 1nnu 、 ????11nnu 都收斂 , 所以 ?????11 )(nnn uu 也收斂 . 例 7 【答案】 應(yīng) 選 (D). 30 解 （ A ） ????1)1(nnnnu （ B ） ??? 12nnu （ C ） ?????1212)(nnnuu （ D ） ?????11)(nnnuu （ A ）反例： ????1 ln)1(nnn； （ B ）反例： ?????1)11l n()1(nnn； 例 7 （ C ）反例： ????1)1(nnn. ( Ⅰ 00 二 3) 設(shè)級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂，則下列級(jí)數(shù)中必收斂的是（ ） . 31 解 判斷級(jí)數(shù) ??? 21s i nln1n nn的收斂性。 0?l ???1nnv ???1nnu7 幾何級(jí)數(shù) ??? 0nnaq , 當(dāng) 1|| ?q 時(shí)收斂； 1|| ?q 時(shí)發(fā)散； ?p 級(jí)數(shù) ??? 11npn, 當(dāng) 1?p 時(shí)收斂； 1?p 時(shí)發(fā)散； 特別 , 調(diào)和級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 . qa?1以下兩個(gè)級(jí)數(shù)是常用的比較對(duì)象： 8 比值審斂法 ( 達(dá)朗貝爾 D ’ Alembert 判別法 ) 設(shè) ??? 1nnu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 如果 )(l i m1 ????????數(shù)或nnn uu 則 1?? 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 。 1. 。 1?? 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 。 （ 7 分）。 (2) 如果級(jí)數(shù) ??? 0nnn xa 在 0xx ? 處發(fā)散 , 則它在 滿足不等式 |||| 0xx ? 的一切 x 處發(fā)散 . 14 定理 如果冪級(jí)數(shù) ??? 0nnn xa 的所有系數(shù) 0?na , 則冪級(jí)數(shù) ??? 0nnn xa 的收斂半徑為 ????????????????? , 00 , 0 , 1/R , 設(shè) ????? nnn aa 1lim ( 或 ????nnn al i m ) 簡(jiǎn)單地講 , 就是 1l i m????nnn aaR . (3) 收斂半徑 15 (4) 和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)： 設(shè)冪級(jí)數(shù) ??? 0nnn xa 的收斂半徑為 R , 收斂域?yàn)?I ,且和函數(shù)為 )( xS . 下面介紹 )( xS 的三個(gè)性質(zhì) . 性質(zhì) 1 )( xS 在 ??? 0nnn xa 的收斂域 I 內(nèi)連續(xù) . 性質(zhì) 2 )( xS 在 ??? 0nnn xa 的收斂域 I 內(nèi)可積 , 且有逐項(xiàng)積分公式： .1d)( 100????? ?? nnnx xnaxxS且收斂半徑仍為 R. 16 性質(zhì) 3 )( xS 在 ),( RR? 內(nèi)可導(dǎo) , 且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式： )( xS?.11?????nnn xna且收斂半徑仍為 R. 注 : ( 1 ) 實(shí)際上 , )( xS 在 ),( RR? 內(nèi)任意階可導(dǎo) . (2) 端點(diǎn)處的收斂性可能 發(fā)生變化 . 17 冪級(jí)數(shù)展開式 如果 )( xf 在點(diǎn) 0x 處任意階可導(dǎo) , 則冪級(jí)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)(????稱為 )( xf 在點(diǎn) 0x 的 泰勒級(jí)數(shù) . nnnxnf??? 0)(!)0( 稱為 )( xf 在點(diǎn) 0x 的 麥克勞林級(jí)數(shù) . (1) 定義 18 定理 )( xf 在點(diǎn) 0x 的泰勒級(jí)數(shù) , 在 )( 0xU ? 內(nèi)收斂于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 內(nèi) 0)(l i m ???xR nn.(2) 充要條件 (3) 唯一性 定理 如果函數(shù) )( xf 在 )(0xU?內(nèi) 能 展開成 )(0xx ?的冪級(jí)數(shù) , 即 nnnxxaxf )()(00?? ???, 則其系數(shù) ),2,1,0()(!10)(??? nxfnann 且展開式是唯一的 . 19 (3) 展開方法 (泰勒級(jí)數(shù)法 ) 步驟 : ，求 ! )()1( 0)(nxfa nn ?,|)(|0l i m)2( )( MxfR nnn ???? 或討論).( xf斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收 根據(jù)唯一性 , 利用常見展開式 , 通過 變量代換 , 四則運(yùn)算 , 恒等變形 , 逐項(xiàng)求導(dǎo) , 逐項(xiàng)積分 等方法 ,求展開式 . 并求出收斂半徑 R ； 20 ),(,!1!211e 2 ??????????? xxnxx nx ??,!)12()1(!51!31s i n 1253 ?? ?????????nxxxxx nn),( ?????x,!)2()1(!41!211c os242 ?? ???????nxxxx nn),( ?????x(4) 常見函數(shù)展開式 21 )1,1(??x?)1( x?)1ln( x? ?? ??????? ? nxxxxnn 132 )1(3121]1,1(??x??? ?????????? nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2 ??????( α 不為正整數(shù) ) ,1 10?????nnxx)1,1(??x22 典型例題 題型 1：判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 例 1 ?????11)1(n nnnnnn判別下列級(jí)數(shù)的收斂性： 解 nnnnnnnnu)1(1???nnnn)11(21?? ,)(1 ??? n所以原級(jí)數(shù)發(fā)散． 23 (88,6 分 ) 討論級(jí)數(shù) ?????11!)1(nnnn的 斂 散 性 . 解 例 2 nnn uu 1lim ??? 12)!1()1()!2(lim????????nnn nnnn1)11(12lim ??????? nn nnn,1e1 ??用比值審斂法 , 所以級(jí)數(shù)收斂。 ???l (2) 當(dāng) 時(shí)，若 收斂 , 則 收斂 。, 則級(jí)數(shù)收斂若 SS n ?2. 。 1?? 時(shí)失效 .9 定義 正 、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為 交錯(cuò)級(jí)數(shù) . ?nnnnnn uu ??????? ??111 )1()1( 或萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件 : ( ⅰ ) ),3,2,1(1????nuunn。 解 例 5 (1) 0211???? nnnna，正項(xiàng)級(jí)數(shù)， nnn aa 1lim ???所以級(jí)數(shù)收斂； 考慮冪級(jí)數(shù) ??? ?1 1nnxnn ， (2) 它的收斂域是 )1,1( ? ； nnnnnnn2112121lim1?????????用比值判別法， ,121 ??62 考慮冪級(jí)數(shù) ??? ?1 1nnxnn ， (2) 它的收斂域是 )1,1( ? ； 和函數(shù) ??? ??1 1)(nnxnnxS ??? ???1)111(nnxn?????? ???11 11nnnn xnx ,)(11 1 xSxxx ????0?x其中 ?????? 111 11)(nnxnxS ， 逐項(xiàng)求導(dǎo)， ?????11 )(nnxxSxx?? 1 ， 6