【正文】 n n所 以nn111 ??, 因?yàn)?221nn?? , 所以22111nn ??. 而 ??? 221n n收斂 , 所以原級(jí)數(shù)收斂 . （但 ??? ?22 11n n如何？） 例 4 ??? ?12 11n n解 : 要應(yīng)用比較判別法來判別給定級(jí)數(shù)的收斂性 ,就必須 給定級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)與某一已知級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)之間的不等式 , 但有時(shí)直接建立這樣的不等式相當(dāng)困難 ,為應(yīng)用方便 ,我們給出 比較判別法的極限形式 . 定理 8 (第一比較判別法的極限形式 ) 11nnnnuv??????及 lim ,nnnu lv?? ?若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 滿足 : (1)當(dāng) 0l+∞時(shí) , 級(jí)數(shù) 11nnnnuv??????和 同時(shí)斂散 。 0?l ???1nnv ???1nnu第一比較判別法的極限形式 : ?第二比較判別法 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 而 ??? 21n n發(fā)散 , 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 例 5 ??? ?2 11n n???? nnn111lim ，1?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 解 : 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 6 ??? ?22 11n n，1111l i m 22 ???? nnn?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 解 : 而221n n???收 斂 , 所以原級(jí)數(shù) 收 斂 . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 例 3 判別級(jí)數(shù) ??? 11s i nn n的收斂性 ?? 例 3??解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 解 :?解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 根據(jù)第二比較判別法知 .1s i n1發(fā)散???n n0sinlim 1xxx? ?上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 3 判別級(jí)數(shù) ??? 11s i nn n的收斂性 ?? 例 3??解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 解 :?解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 下頁根據(jù)第二比較判別法知 .1s i n1發(fā)散???n nnu 1pn實(shí)際是 與 同階無窮小 之間的比較 . 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 0sinlim 1xxx? ?上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 15 判定級(jí)數(shù) 的斂散性 : 311n nn?? ???? (1)解 因3231l i m 1 ,1nnnn??? ?由比較判別法的極限形式知 收斂 . 311n nn?? ??33333311l i m l i m l i m1n n nnnnn n n nn n? ? ? ? ? ?? ????32311li m li m 1 ,11nnnnnn? ? ? ?? ? ?? ?則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 抓主要 項(xiàng) ?抓大頭 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1nnu 收斂 , 能否推出 ???12nnu 收斂 ? 提示 : 2lim nn nuu?? lim nn u???0,?由第二比較判別法可知 ???12nnu 收斂 . ?第二比較判別法 (2) 當(dāng) 時(shí)，若 收斂 , 則 收斂 。知由級(jí)數(shù)收斂的必要條件 nn nn )322(2???? ?? 6. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比較判別法 的基本題型和應(yīng)用實(shí)例 (1) 利用比較法（不等式形式）直接判斂題型 : 1?型例 6 判別 11nn na??? ?? 的斂散性 . (其中 ,正常數(shù) ). 0a?. 解 : (2)當(dāng) 時(shí) , 1a?1im1lnnnnaa? ??? 而此時(shí) , 11 nn a??????????收斂 , 11nn na??? ??收斂 . 因此 (1)當(dāng) 時(shí) , 01a??1lim1nnnan? ??? 而 11n n????為調(diào)和級(jí)數(shù) ,發(fā)散 , 11nn na??? ?? 發(fā)散 . 因此 要找出 中起主要 作用的項(xiàng) . nulnl im l im l iml n 1n x xn x xn x xa a a aa n a x a a? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?l n l nl im 1 .l n l nxxxa aa a a? ? ????? ?? ?? ??1,?1l im l im l iml n 1n x xnxxnxa n a x a a? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ?1,? (4) 證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的題型 : 均亦收斂與求證：收斂，已知正項(xiàng)級(jí)數(shù) ???????????? ? 121131 2nnn nnnn uuuu。由比值法， ???? 1 !nnnn 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 1l im ( 1 ) 1nnen? ? ?? ? ? ??????1!2.nnnnn例nnnnnnnnnnnnuu!2)1()!1(2l i ml i m111?????????????12)11(l i m2)1(l i m2 ???????????? ennnnnnn收斂。由比值法， ???? ?1 )!1(n nn 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 ?????1 )2(12.nnn例)211212(l i m)2(12)2(12l i ml i m11 ?????????????????? nnnnuunnnnnnn?121 ??收斂。 ( 2 ) a r c t a n ( ) 。 (2)當(dāng) l= 0且級(jí)數(shù) 1nnv??? 也收斂 。 211?? ?????????nnn。 )1(1111)1( 111 ?? ????????? ?????? nnn? ? ? ?1111 c o s c o s 1 c o s 2 c o s 3 c o s 4 1 c o s .nnnnn?? ???? ? ? ? ? ? ? ??例 1 1( 1 ) 1 1 1 1 ( 1 ) 。 1 nn u???收斂時(shí) , 級(jí)數(shù) (3)當(dāng) l= +∞且 級(jí)數(shù) 也發(fā)散 . 1nnv??? 發(fā)散時(shí) , 級(jí)數(shù) 1 nn u????第二比較判別法 簡要說明 (3)： ,很大時(shí)此時(shí)當(dāng) n,1??nnvu , ?? ??nnnn vuvu因此得證 . l im + 1nnnuv????因 為 ，, 設(shè) ? ? ? 1 n n u 與 ? ? ? 1 n n v 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果 ,lim lvunnn???, 當(dāng) 時(shí) 。4nnnnne????????????sin4 ( 1 ) lim 1 ,4nnnnn?????解 由 于1 4nnn????而1si n 4nnn????收斂 , 收斂 . 故 ?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 0sinlim 1xxx? ?si n4lim 14nnn?????????? ???????上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 9 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 11( 1 ) s in 。由比值法， ?????1 )2(12nnn 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 ?? ?????? ???222 2)1(1.nnnn nu例nnnnnnnnuu2)1(12)1)1((1l i ml i m2121???????????????1212)1)1(( 1l i m 22????? ????? nnn收斂。由比值法， ???? 11002n nn 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 ???? 1 !.nnnn例!)!1()1(l i ml i m11nnnnuunnnnnn????????????nn nn )1(l i m ?????發(fā)散。4nnnnne?????????? ? ?? ??a r c t a n( )( 2 ) lim