【正文】 1 ,()nn nee?????解 :由 于 收斂 , 1()n nie???而1a r c t a n( ) nne???? 收斂 . 故 ?第二比較判別法 則級數(shù) ??? 1nnu 和級數(shù) ??? 1nnv 同時收斂或同時發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項級數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 0l im 1xa rc tgxx? ?nnnn nnu )322(.22?? ?????? ??例323332])32 31[(l i m)32 2(l i m ???????? ???? nnnnnn nnn?，0])32 31(l i m[ 23323l i m332????? ???????? ennnnnn發(fā)散。 ???l (2) 當 時，若 收斂 , 則 收斂 。級數(shù) ?????11n n)1ln (11111113221??????? ??????ndxxdxxdxxdxxnnn?? ?1111 l n l n 1 l n 11n nd x x nx? ?? ? ? ??上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 結(jié)束?級數(shù)收斂的必要條件 若級數(shù) ????1nnu 收斂 , 則必有 . 0l i m ???? nn u定理 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ? ? ? ? ? ?2 1 2 11 1 1 1 ,nn?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 1 111nn??? ? ?? ? ? ?3 1 111 ?? ? ?? ? ,cb c b b c b ca a a a a?? ??? ?? ? ?? ? ? ?? ?221 1 1? ? ? ?nn12 ,?nn332 ?nn ? ?13 2? n上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 作業(yè) P126 1. 2. 3. 4. (1)(3)(5)(7)(8) 5.(1) 高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程 —— 微積分 大 學 數(shù) 學 （ 一 ） 第五十講 正項級數(shù) 腳本編寫： 教案制作： 上頁 下頁 結(jié)束 返回 首頁 鈴 167。天下篇 》 ： “ 一尺之棰 ,日取其半 ,萬世不竭” . 意思是 : 一尺長的棍子 , 第一天取其一半 , 第二 天取其剩下的一半 , 以后每天都取其剩下的一 半 , 這樣永遠也取不完 . 引例 2 0 12141把每日所取排列起來： ,21 ，221 ，321 ，????????，n21棰取走的部分總共長： nns 2121212 ???? ?211)211(21?????????n.1?n????????211此是公比為 的等比數(shù)列， .021 ?n21?q???n?? ?????????nnn uuuuu 3211 — (常數(shù)項 )無窮級數(shù) 一般項 部分和數(shù)列 ???????niinn uuuus121 ?級數(shù)的部分和 ,11 us ? ,212 uus ??,3213 uuus ????? ,21 nn uuus ?????常數(shù)項級數(shù)的定義 :}{ 是一個數(shù)列假設(shè) nuu1,?u2,?u3,??????,?un,????????,? 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 下列各式均為常數(shù)項級數(shù) 。 (2)當 l= 0且級數(shù) 1nnv??? 也收斂 。故由比較法 ???? ?1 131n n 6. 正項級數(shù) 比較判別法 的基本題型和應(yīng)用實例 (1) 利用比較法（不等式形式）直接判斂題型 : ,131131,313nnnn ???????? ?????? ??111.n nnn nnu例nnnnnn nnnnnu 1l i m11l i m1l i m?????????????xxxxxxxxeexlnl i mln111l i m11l i m?????????????1l im1 1x xe ?? ???洛 必 達發(fā)散，而 )1(11?????pnn亦發(fā)散。試證：若 ???????????1,)0(0l i mnnnnn uurun,0l i m1l i m ??????????runnunnnn?證：發(fā)散。 任意項級數(shù)的審斂法 上頁 下頁 鈴結(jié)束返回首頁上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 本節(jié)討論一般的常數(shù)項級數(shù) ,即各項符號不盡相同的變號級數(shù) (任意項級數(shù) ).如級數(shù) 1111( 1 ) s innnnnn???????? 及 下面討論任意項級數(shù)的斂散性的判別法 .首先討論 其中的一種各項正負相間的特殊情形 —— 交錯級數(shù) . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 二、交錯級數(shù)及其審斂法 ?交錯級數(shù) ? 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù) ,?它的各項是正負交錯的 ???交 錯 級 數(shù) 的 一 般 形 式 為 ?????11)1(nnn u ,? 其 中 0?nu ? 下頁11 2 3 4 2 1 21( 1 ) n n k knu u u u u u u????? ? ? ? ? ? ? ? ??111 1 1 1 1 1( 1 ) 1 2 3 4 5 6nn n? ??? ? ? ? ? ? ? ?? 這是交錯級數(shù) . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 二、交錯級數(shù)及其審斂法 ?交錯級數(shù) ? 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù) ,?它的各項是正負交錯的 ???交 錯 級 數(shù) 的 一 般 形 式 為 ?????11)1(nnn u ,? 其 中 0?nu ? 下頁1 2 3 4 2 1 21( 1 ) n n k knu u u u u u u? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??或 ( 0, 1 , 2, ) nun??11 2 3 4 2 1 21( 1 ) n n k knu u u u u u u? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ( 0, 1 , 2, ) nun??上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ?萊布尼茨定理 則級數(shù)收斂 ,?且其和 s?u1??( 1 ) 1?? nn uu ( n ? 1 ,? 2 ,? 3 ,? ?????) ?? ( 2 ) 0lim ??? nn u ,? 如果交錯級數(shù) ?????11)1(nnn u 滿足 條件 : 簡要證明 :?下頁設(shè)級數(shù)的前 n項部分和為 sn??及 ??? s2n?u1?(u2?u3) ?(u4?u5)??????? ?(u2n?2?u2n?1)?u2n ??????????設(shè) s2n?s(n??),?則也 有 s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??),?所以 sn?s(n??)???因此級數(shù)是收斂的 ,?且級數(shù)的和 s?u1??可見數(shù)列 {s2n}單調(diào)增加 且有界 (s2n?u1),??所以 數(shù)列 {s2n}收斂 ??s2n可寫成 ? ? 1 2 3 11, nnu u u u u ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 1 2 ,S u u?? ? ? ? ?4 1 2 3 4 ,S u u u u? ? ? ?,???? ? ? ? ? ?2 1 2 3 4 2 1 2 ,n n nS u u u u u u?? ? ? ? ? ? ? ? ?稱 萊布尼茨型級數(shù) 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 9 證明級數(shù) 1)1(11?????nn n 收斂 ,? 并估計和及余項 ?? 例 9??這是一個交錯級數(shù) ??因為此級數(shù)滿足 證 :?是萊布尼茨型級數(shù) ,?故收斂 ??( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 , ?????) ,? ( 2 ) 01l i ml i m ?? ???? nu nnn ,? ( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 , ?????) ,? ( 2 ) 01l i ml i m ?? ???? nu nnn ,? ?萊布尼茨定理 則級數(shù)收斂 ,?且其和 s?u1??( 1 ) 1?? nn uu ( n ? 1 ,? 2 ,? 3 ,? ?????) ?? ( 2 ) 0lim ??? nn u ,? 如果交錯級數(shù) ?????11)1(nnn u 滿足 條件 : 首頁? ? 1 2 3 11, nnu u u u u ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 9 證明級數(shù) 1)1(11?????nn n 收斂 ,? 并估計和及余項 ?? 例 9??這是一個交錯級數(shù) ??因為此級數(shù)滿足 證 :?( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 , ?????) ,? ( 2 ) 01l i ml i m ?? ???? nu nnn ,? ( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 , ?????) ,? ( 2 ) 01l i ml i m ?? ???? nu nnn ,? 首頁 . 例 驗證 : 不管 大于 還是不大于 ,只要 p 1 1 0,p?? ? 111 npn n?????? 均收斂 . ? ? ? ? ???????111 1 , 1 , 2 ,1nn ppu u nn n ?? ? ? ??解 :因( 1 ) 1?? nn uu ( n ? 1 ,? 2 ,? 3 ,? ?????) ?? ( 2 ) 0lim ??? nn u ,? 是萊布尼茨型級數(shù) ,?故收斂 ??是萊布尼茨型級數(shù) ,?故收斂 ??三、任意項級數(shù)的 絕對收斂 與 條件收斂 定義 : 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為 任意項級數(shù) . 例如 , ?????121 1)1(nnn絕對收斂 , 而 ?????11 1)1(nnn條件收斂 . 定義 若 ??? 1nnu 收斂 , 則稱 ??? 1nnu 絕對收斂 ； 若 ??? 1nnu 收斂 , 但 ??? 1nnu 發(fā)散 , 則稱 ??? 1nnu 條件收斂 . 1nnu???? 由于任意常數(shù)項級數(shù)各項的符號不一定同號 ,因而正 項級數(shù)的斂散性的判別法對它來說是不適用的 .但當我們 可 借助于正項級數(shù)的斂散性的判別法來研究它了 . 它的每一項取絕對值后組成的級數(shù) —— 正項級數(shù) ,便 考察 1||nnu????1nnu????三、任意項級數(shù)的 絕對收斂 與 條件收斂 定義 : 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為 任意項級數(shù) . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 定理 證 ? un ? | un | ? ||2||0 nnn uuu ???, || 1收斂已知 ????nnu , )||( 1收斂故 ?????nnn uu從而 . ]||)||([11收斂???????????nnnnnn uuuu . , || 11必收斂則級數(shù)收斂若 ????