【正文】 3 ,)(11)( 1 xSxxxxS ???? 0?x所以 ?????1 211n nnn )21(S? 2ln22 ?? . xxxS??? 1)(1所以 )0(d1)( 101SxxxxS x ??? ? ,)1ln ( xx ????于是 )(11)( 1 xSxxxxS ???? )]1l n ([11 xxxxx ???????,)1l n (11 1 xxx ???? ,1||0 ?? x64 (95,6 分 ) 將函數(shù) )21l n ( 2xxy ??? 展開成 x 的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂域 . 題型 5：將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 例 1 解 利用展開式 ???????11)1()1l n (nnnnxx , ]1,1( ??x )21ln ( 2xx ?? )21l n ()1l n ( xx ??????????11)1(nnnnx ???? ???11 )2()1(nnnnx,)2()1(11???? ????nnnnxn??????????12111xx ,2121 ???? x 即收斂域?yàn)??????? ?21,21 . 65 (07,10 分 ) 將 函數(shù)431)( 2???xxxf 展開成 1?x 的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間 . 例 2 解 431)(2 ??? xxxf )1)(4(1??? xx )1141(51???? xx)12 113 1(51 ??????? xx21111013111151???????xx???????????00)2 1(101)3 1(151nnnn xx ,)1](2131[51011????? ????nnnn x???????2|1|3|1|xx ,2|1| ??? x 收斂區(qū)間為 )3,1( ? . 66 解 xxxxxf ????? a r c t a n2111ln41)( 例 3 試將函數(shù) 展開成 x的冪級(jí)數(shù) ,并指出其收斂域 . (Ⅰ94 三 5) 11 121)1 11 1(41)( 2 ???????? xxxxf11 1 4 ??? x ,14????nnx 1|| ?x所以 )0()()( fxfxf ??? ?? x ttf0 d)(,14114??????nnnx 1|| ?x? ????1 04 dnx ntt67 答案 : 將函數(shù)xxxf2121ar c t an)(??? 展開成 x 的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù) ??? ??0 12)1(nnn的和 . 類題 (Ⅰ03 四 12) ].21,21(,124)1(24)( 120?????? ???? xxnxf nnnn?.412)1(0???????nnn68 題型 6：其它 例 1 證 證明 0!2lim ??? nnn nn . 1e2 ?? , nnnnn nnnn !2)1()!1(2l i m11???? ?? nn n )/11(2lim???? 由比值審斂法知級(jí)數(shù) ??? 1!2nnnnn 收斂 , 故 0!2l i m ??? nnn nn . 分析：利用收斂級(jí)數(shù)的必要性來(lái)證 . 69 證 設(shè) 21 ?a , )1(211nnn aaa ??? , ),2,1( ??n , 證明： （ 1 ） nna??l i m 存在；（ 2 ）級(jí)數(shù) ??? ??1 1)1(n nnaa 收斂 . （ 1 ）顯然 0?na , ),2,1( ??n , 由基本不等式 , )1(211nnn aaa ??? 11 ???nn aa , 可見(jiàn)數(shù)列 }{ na 有下界； 例 2 (Ⅰ97 六 8) nn aa ??1 )1(21nnaa ?? nnaa21 2?? )0( 0 ?? na , 又 得 nn aa ?? 1 , 即 }{ na 單調(diào)下降 , 由此 , }{ na 收斂 , 70 )1(211nnn aaa ??? 設(shè) aa nn ???lim , )1(21 aaa ?? , ? 1?a （ 1??a 舍去）； （ 2 ）記 11???nnn aab, 則有 1122???nnn aab, 11112221211?????????nnnnnnaaaabb 114)1()1(2222222???????nnnnnaaaaa 22244)1(1nnnaaa???? )(10 ???? n , 由比值審斂法知 , ??? ??1 1)1(n nnaa 收斂 . 對(duì)題設(shè)等式兩邊取極限 ,得 71 END 。 若 ??? 1||nnu 發(fā)散 , 而 ??? 1nnu 收斂 , 則稱 ??? 1nnu 為條件收斂 . 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 11 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (1) 定義 設(shè) ?? ),(,),(),(21xuxuxun是定義在 RI ? 上的函數(shù) , 則 ?? ????????)()()(211xuxuxunn稱為定義在區(qū)間 I 上的 ( 函數(shù)項(xiàng) ) 無(wú)窮級(jí)數(shù) .(2) 收斂點(diǎn)與收斂域 如果 Ix ?0 , 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 10 )(nn xu 收斂 , 則稱 0x 為級(jí)數(shù) )(1xunn???的 收斂點(diǎn) , 否則稱為 發(fā)散點(diǎn) . 12 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1xunn???的所有收斂點(diǎn)的全體稱為 收斂域 ,(3) 和函數(shù) 在收斂域上 , 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) )( xs , 稱 )( xs 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 和函數(shù) . 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為 發(fā)散域 . 13 (1) 定義 形如 nnn xxa )(00???? 的級(jí)數(shù)稱為 冪級(jí)數(shù) . ,00 時(shí)當(dāng) ?x 其中 na 為冪級(jí)數(shù)系數(shù) .冪級(jí)數(shù) nnn xa??? 0(2) 定理 ( A b e l 定理 ) (1) 如果級(jí)數(shù) ??? 0nnn xa 在)0( 00 ?? xxx 處收斂 , 則它在滿足不等式 |||| 0xx ? 的一切 x 處絕對(duì)收斂 。 則 (1) 兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性 ???? l0 (3) 當(dāng) 時(shí) , 若 ? ? ? 1 n n v 發(fā)散 , 則 ? ? ? 1 n n u 發(fā)散 。,0, 則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng) ??? nun交錯(cuò)級(jí)數(shù) 5 定義 0,1????nnn uu.有上界部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 ns?正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 充分必要條件 : (1) 比較審斂法 若 ??? 1nnu 收斂 ( 發(fā)散 ) 且 )( nnnn vuuv ?? ,則 ??? 1nnv 收斂 ( 發(fā)散 ) .6 比較審斂法的極限形式： , 設(shè) ? ? ? 1 n n u 與 ? ? ? 1 n n v 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果 ,lim lvunnn???, 當(dāng) 時(shí) 。( ⅱ ) 0l i m ???nnu , 則級(jí)數(shù)收斂 , 且其和1us ? , 其余項(xiàng) nr 的絕對(duì)值1||??nnur . )0( ?nu其中交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 10 定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) . 定理 若 ??? 1||nnu 收斂 , 則 ??? 1nnu 收斂 . 定義 若 ??? 0||nnu 收斂 , 則稱 ??? 0nnu 為絕對(duì)收