文科考研第六章無窮級(jí)數(shù)-文庫吧
2025-04-25 06:01 本頁面
【正文】 nn),( ?????x,!)2()1(!41!211c os242 ?? ???????nxxxx nn),( ?????x(4) 常見函數(shù)展開式 21 )1,1(??x?)1( x?)1ln( x? ?? ??????? ? nxxxxnn 132 )1(3121]1,1(??x??? ?????????? nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2 ??????( α 不為正整數(shù) ) ,1 10?????nnxx)1,1(??x22 典型例題 題型 1：判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 例 1 ?????11)1(n nnnnnn判別下列級(jí)數(shù)的收斂性： 解 nnnnnnnnu)1(1???nnnn)11(21?? ,)(1 ??? n所以原級(jí)數(shù)發(fā)散． 23 (88,6 分 ) 討論級(jí)數(shù) ?????11!)1(nnnn的 斂 散 性 . 解 例 2 nnn uu 1lim ??? 12)!1()1()!2(lim????????nnn nnnn1)11(12lim ??????? nn nnn,1e1 ??用比值審斂法 , 所以級(jí)數(shù)收斂。 24 (91,3 分 ) 設(shè)na n10 ?? ( ?,2,1?n ) ，則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是 解 例 3 (A) ??? 1nna ( B ) ????1)1(nnn a ( C ) ??? 1nna ( D ) ????12)1(nnn a 由 na n 10 ?? ( ?,2,1?n ) ， 得 222 1|)1(| naa nnn ??? ， 而級(jí)數(shù) ??? 121n 收斂， 所以級(jí)數(shù) ????12)1(nnn a 絕對(duì)收斂 . 【答案】 應(yīng) 選 (D). 25 (91,3 分 ) 設(shè)na n10 ?? ( ?,2,1?n ) ，則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是 解 例 3 (A) ??? 1nna ( B ) ????1)1(nnn a ( C ) ??? 1nna ( D ) ????12)1(nnn a ( A ) 、 ( C ) 反例： na n 2 1? ； 【評(píng)注】 ( D ) 反例：??????為偶數(shù)為奇數(shù)nnna n ,21 ,0 . 26 (94,3 分 ) 設(shè)常數(shù) 0?? ，且級(jí)數(shù) ??? 12nna 收斂，則 解 例 4 (A) 條件收斂 (B) 絕對(duì)收斂 (C) 發(fā)散 (D) 斂散性與 ? 有關(guān) . 由于 ??? 12nna 和 ??? ?121n n ?都是收斂的， 從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . 由基本不等式可知， ,)1(21||222 ?? ???? nanann級(jí)數(shù) ??? ??1 2||)1(nnnna? 由比較審斂法可知， ??? ?1 2||nnna?收斂， 【答案】 應(yīng) 選 (B). 27 解 （ A ）若 ??? 12nnu 和 ??? 12nnv 都收斂 , 則 ????12)(nnn vu 也收斂； （ B ）若 ??? 1nnn vu 收斂 , 則 ??? 12nnu 和 ??? 12nnv 都收斂； （ C ）若正項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 1nnu 發(fā)散 , 則 nu n1?； （ D ）若 ??? 1nnu 收斂 , 且 nn vu ? , 則 ??? 1nnv 也收斂 . 例 5 (96,3分 ) 下列各選項(xiàng)正確的是（ ） . 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可得結(jié)論 . 【答案】 應(yīng) 選 (A). ,)(22)( 22222 nnnnnnnn vuvvuuvu ??????因?yàn)?8 解 (A) ??? 1nnu 與 ??? 12nnu 都收斂； (B) ??? 1nnu 與 ??? 12nnu 都發(fā)散； (C) ??? 1nnu 收斂而 ??? 12nnu 發(fā)散； (D) ??? 1nnu 發(fā)散而 ??? 12nnu 收斂 . ( Ⅰ 95 二 3) 設(shè) )11l n ()1(nu nn ??? , 則正確的是（ ） . ??? 1nnu 為萊布尼茲型級(jí)數(shù) , 收斂； 例 6 22 )11l n (?????? ??nu n nn11 2~ ?????????, 因 ??? 11n n發(fā)散 , 由比較審斂法 , 知正項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 12nnu 發(fā)散 . 【答案】 應(yīng) 選 (C). 29 解 ( Ⅰ 00 二 3) 設(shè)級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂，則下列級(jí)數(shù)中必收斂的是（ ） . （ A ） ????1)1(nnnnu （ B ） ??? 12nnu （ C ） ?????1212)(nnnuu （ D ） ?????11)(nnnuu 因?yàn)???? 1nnu 、 ????11nnu 都收斂 , 所以 ?????11 )(nnn uu 也收斂 . 例 7 【答案】 應(yīng) 選 (D). 30 解 （ A ） ????1)1(nnnnu （ B ） ??? 12nnu （ C ） ?????1212)(nnnuu （ D ） ?????11)(nnnuu （ A ）反例： ????1 ln)1(nnn； （ B ）反例： ?????1)11l n()1(nnn； 例 7 （ C ）反例： ????1)1(nnn. ( Ⅰ 00 二 3) 設(shè)級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂，則下列級(jí)數(shù)中必收斂的是（ ） . 31 解 判斷級(jí)數(shù) ??? 21s i nln1n nn的收斂性。 因?yàn)? ???? ?????22 lnlndln1 xxxx , 故 ??? 21s i nln1n nn與 ??? 2 ln1n nn同斂散 , 由積分判別法知 , ??? 2 ln1n nn發(fā)散 , 柯西積分判別法 : 設(shè)函數(shù) )( xf 非負(fù) , 單減 , 則級(jí)數(shù) ??? 1)(nnf 與廣義積分 ? ??1 d)( xxf同斂散 . 例 8 ,111s i nl i mln11s i nln 1l i m ?????? nnnnnn nn所以原級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 32 (03,4 分 ) 設(shè)2|| nnnaap?? ，2|| nnnaaq?? ，?,2,1?n ，則下列命題正確的是 (A) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (B) 若 ??? 1nna 絕對(duì)收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (C) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都 不定 (D) 若 ??? 1nna 絕對(duì)收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都不定 例 9 【答案】 應(yīng) 選 (B). 33 (03,4 分 ) 設(shè)2|| nnnaap?? ，2|| nnnaaq?? ，?,2,1?n ，則下列命題正確的是
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