32第4課時(完整版)
【正文】 60176。BM→ ||AD→ |b)＝ 34， ∴ |BM→ |＝ 32 ， ∴ sinθ＝ 64 . 三、解答題 7． 如圖 ， 在長方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， AA1＝ AD＝ 1， E 為 CD 中點 ． (1)求證 ： B1E⊥ AD1； (2)在 棱 AA1上是否存在一點 P， 使得 DP∥ 平面 B1AE？ 若存在 ， 求 AP的長 ； 若不存在 ，說明理由 ； (3)若二面角 A－ B1E－ A1的大小為 30176。AE― → ＝ 0n C． 120176。OC→ )＝－ 14|OA→ |2. 又 |OE→ |＝ |OF→ |＝ 22 |OA→ |， ∴ cos〈 OE→ ， OF→ 〉＝－ 14|OA→ |212|OA→ |2 ＝－12. ∴∠ EOF＝ 120176。BD1→ ＝ (x， y， z) [解析 ] 解法一：連接 BC1，設(shè)與 B1C交于 O點，連接 A1O. ∵ BC1⊥ B1C， A1B1⊥ BC1， A1B1∩ B1C＝ B1. ∴ BC1⊥ 平面 A1B1C， ∴ A1B在平面 A1B1CD內(nèi)的射影為 A1O.∴∠ OA1B就是 A1B與平面A1B1CD所成的角， 設(shè)正方體的棱長為 1. 在 Rt△ A1OB中， A1B＝ 2， BO＝ 22 ， ∴ sin∠ OA1B＝ BOA1B＝222＝12.∴∠ OA1B＝ 30176。. 6． (2021|n|＝ 22 3 62＝ 23 . 故直線 QC與平面 PAC所成角的正弦值為 23 . 8． 如圖 ， 在四棱錐 P－ ABCD中 ， PD⊥ 底 面 ABCD， 底面 ABCD 為正方形 ， PD＝ DC，E、 F 分別是 AB、 PB 的中點 ． (1)求證 ： EF⊥ CD； (2)在平面 PAD 內(nèi)求一點 G， 使 GF⊥ 平面 PCB， 并證明你的結(jié)論 ； (3)求 DB 與平面 DEF 所成角的正弦值 ． [解析 ] 以 DA、 DC、 DP 所在直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖 )，設(shè)AD＝ a，則 D(0,0,0)、 A(a,0,0)、 B(a， a,0)、 C(0， a,0)、 E(a， a2， 0)、 F(a2， a2， a2)、 P(0,0， a)． (1)EF→ DE→ ＝ 0， ∴??? ?x， y， z?CD― → ＝ 0n2?a， a2， 0?＝ 0， 即??? a2?x＋ y＋ z?＝ 0ax＋ a2y＝ 0， 取 x＝ 1，則 y＝－ 2， z＝ 1， ∴ n＝ (1，－ 2,1)． cosBD→ ， n＝ BD→ (0， a,0)＝ 0， ∴ EF⊥ DC. (2)設(shè) G(x,0， z)，則 FG→ ＝ (x－ a2，－ a2， z－ a2)， FG→ 黑龍江哈師大附中高二期中測試 )如圖 ， 在四棱錐 P－ ABCD 中 ， AB∥ CD， AB⊥ AD， AB＝ 4， AD＝ 2 2， CD＝ 2， PA⊥ 平面 ABCD， PA＝ 4. (1)求證 ： BD⊥ 平面 PAC； (2)點 Q 為線段 PB 的中點 ， 求直線 QC 與平面 PAC 所成角的正弦值 ． [解析 ] 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A－ xyz. 則 A(0,0,0)、 D(0,2 2， 0)、 B(4,0,0)、 P(0,0,4)、 C(2,2 2， 0)、 Q(2,0,2)． (1)BD→ ＝ (－ 4,2 2， 0)， AP→ ＝ (0,0,4)， AC→ ＝ (2,2 2， 0)， ∴ BD→ . 解法二：以 D為原點， DA、 DC、 DD1分別 x， y， z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為 1，則 A1(1， 0,1)、 C(0,1,0)． ∴ DA1→ ＝ (1,0,1)、 DC→ ＝ (0,1,0)． 設(shè)平面 A1B1CD的一個法向量為 n＝ (x， y， z)， 則????? nm|n| B． 60176。 120176。BA― →|n|B1E→ ＝－ a2 0＋ 1 1＋ (－ 1) 1＝ 0， ∴ B1E⊥ AD1. (2)假設(shè)在棱 AA1上存在一點 P(0,0， z0)， 使得 DP∥ 平面 DP→ ＝ (0，－ 1， z0)． 又設(shè)平面 B1AE的法向量 n＝ (x， y， z)． ∵ n⊥ 平面 B1AE， ∴ n⊥ AB1→ ， n⊥ AE→ ，得????? ax＋ z＝ 0ax2＋ y＝ 0， 取 x＝ 1，得平面 B1AE 的一個法向量 n＝ (1，－ a2，－ a)． 要使 DP∥ 平面 B1AE，只要 n⊥ DP→ ，有 a2－ az0＝ 0，解得 z0＝ 12. 又 DP?平面 B1AE， ∴ 存在點 P，滿足 DP∥ 平面 B1AE，此時 AP＝ 12. (3)連接 A1D、 B1C，由長方體 ABCD－ A1B1C1D1及 AA
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