例談變形技巧在數(shù)學解題中的應用畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 2 例談變形技巧在數(shù)學解題中的應用 陳海霞（ 1120510125） 數(shù)學是個有機的整體 , 各部分之間相互聯(lián)系 , 相互滲透 , 從而構成相互交錯的立體空間 , 對各部分知識間的靈活掌握 , 更需要融會貫通 .[1] 近些年 , 數(shù)學題目越來越新 穎 , 技巧性強 ,對有些題目進行適當變形 , 把復雜的數(shù)學問題簡單化 , 從而順利求得問題的答案 . 掌握并靈活運用好各類問題的變形技巧 , 有助于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力 , 運算能力和空間想象能力 ,同時 , 用變形的方法 , 有助于把握數(shù)學問題的本質 , 它既是教師常用的一種重要數(shù)學方法 ,也是學生解題時一種非常有效的思想方法 . 此 外 , 數(shù)學的學習內容是有意義的 , 富有挑戰(zhàn)性的 , 要重視學生的學習能力和學習方法 , 充分利用數(shù)學變形技巧進行解題 , 不斷提升學生的數(shù)學素質 .[2] 一、變形的相關理論 變形是數(shù)學解題的一種常用方法 , 變形能力的強弱制約著解題能力的高低 .[1] 變形是為 了達到某種目的或需要而采取的一種手段 , 是化歸、轉化和聯(lián)想的準備階段 , 它屬于技能性 的知識 , 3 既靈活又多變 , 一個公式 , 一個法則 , 它的表達形式多種多樣 , 也存在技巧與方法 ,在實踐中反復操作才能把握 , 能夠讓學生更好的理解變形技巧 , 乃至靈活運用 . 變 形的一般 形式主要有以下三種 : 1. 等價變形 等價變形就是利用等價關系進行的變形 , 在等價關系的條件下 , 通過等價變換的方式使 數(shù)學問題得到解決 , 等價變形的本質就是在保持原來各種量之間的關系不變的情況下 , 只是 改變它們的表達形式 . 常見的等價變形依據(jù)有 : 根據(jù)特定概念的定義 , 對數(shù)式 , 指數(shù)式的相 互轉化 , 如對數(shù)函數(shù) loga Nb? , 可以等價變形為 baN? 。 利用圖像法求解時 , 設1 2y x?為反比例函數(shù) , 其圖像為雙曲線 , 2 1yx?? 是一次函數(shù) , 其圖像為直線 , 求 2 1xx??的解集 , 即求雙曲線在直線上方時 x 的范圍 . 解法一 : 用代數(shù)法 , 分下列兩種情形 : ① 當 0x? 時 , 不等式兩邊都乘以 x , 得 22 xx??, 即 ( 2)( 1) 0xx? ? ?,解得 12x? ? ? , 又 0x? , 所以不等式的解集為 ? ?02xx?? . ② 當 0x? 時 , 不等式兩邊都乘以 x , 得 22 xx??, 即 ( 2)( 1) 0xx? ? ?, 解得 1x?? 或 2x? , 又 0x? , 所以不等式的解集 ? ?1xx?? . 綜合①②得 , 不等式的解集為 ? 02xx??或 ?1x?? . 解法二 : 用圖像法 . 設1 2y x?, 2 1yx?? , 畫出這兩個函數(shù)在同一平面直角坐標系內的圖像 , 聯(lián) 立方 程1 2y x?, 2 1yx?? , 求出其交點 , 分別為( 1, 2)A?? 和 (2,1)B , 觀察圖像可得 : 當 02x??或 1x?? 時 , 雙 11 曲線在直線上方 , 即 2 1xx??, 于是不等式的解集為 ? 02xx?? 或?1x?? . 代數(shù)法主要適用于計算題 , 能夠充分的體現(xiàn)數(shù)學思維的嚴謹性；圖像法則更適用于選 擇題、填空題等類型 , 能很直觀的讓人理解和接受 . 無論是用代數(shù)法解題，還是用圖像法解題 , 都要對問題進行分析，找出恰當?shù)姆椒?，適當?shù)貙︻}目進行變形，使問題更有效率的得到解決 . 例 7 若 a ,b +R? 且滿足 4 16+ =1ab , 求 ab? 的最小值 .[6] 分析 : 本題要求 ab? 的值 , 自然想到將已知條件轉化為4 16a b ab??, 但轉化后也不 能求得 ab? 的最小值 , 通過“ 1”的代換 , 4 16ab? 1? , 得 ab? = 4 16( )( )abab??, 再利用均值不等式 2a b ab??得到最小值 . 解 : 由 a ,b +R? 且 4 16+ =1ab , 得 ab? =()ab? 4 16+ab（ ） = 4 16+ +20baab 4 1 62 + 2 0 = 3 6baab?? , 當且僅當 4 16=baab, 即 12a? 且 24b? 時 , 等號成立 , 所以 ab? 的最小值為 36. 以“ 1”進行變形 , 是比較常見并且靈活的方法 , 在數(shù)學問題 12 的求解過程中 , 我們要善于 捕捉“ 1” , 適時將“ 1”進行變形 , 獲得理想的解題方法 , 減少了使用基本不等
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