例談變形技巧在數學解題中的應用畢業(yè)論文(存儲版)
【正文】 件出發(fā) , 也可以從結論入手 , 關鍵是要善于發(fā)現所要求式子的特點 . 三、變形技巧在因式分解中的應用 多項式的因式分解 , 方法多樣 , 技巧性強 , 有些多項式喬裝打扮 , 貌似不能因式分解 ,但經過適當變形 , 創(chuàng)造條件 , 便可以進行因式分解 .[4] 因式分解的主要方法有符號變形、加減變形、換元變形、拆項變形、化簡變形等 , 利用這些常見的變形方法解決 7 一些具體的因式分解的問題 . 掌握了這些變形方法后 , 這類因式分解問題就可以迎刃而解了 . 1. 換元變形 例 3 分解因式 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1a a a a? ? ? ? ?. 分析 : 直接展開項數較多 , 也不利于進一步因式分解 , 可以將考慮將四個因子兩兩結合 , 并且使得兩兩結合之后的表達式盡可能接近 , 比如將 1a? 與 4a? 結合 , 2a? 與 3a? 結合 , 得到2 54aa??與 2 56aa??, 顯然它們有相同的項 2 5aa? , 還可以考慮將2 54aa??作 為相同的項 , 兩種情形都應將相同的項作為一個整體 , 為計算方便 , 可作適當的換元 . 解 : ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1a a a a? ? ? ? ? [ ( 1 ) ( 4 ) ] [ ( 2 ) ( 3 ) ] 1a a a a? ? ? ? ? ? 22( 5 4 ) ( 5 6 ) 1a a a a? ? ? ? ? ?, 若令 2 5a a m??, 則上式子變形為 ( 4)( 6) 1mm? ? ? 2 10 24 1mm? ? ? ? 2( 5)m??, 最后再將 2 5m a a??代入可得 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1a a a a? ? ? ? ?22( 5 5)aa? ? ? . 若將 2 54aa??看成一整體 , 并令其為 m , 則上式變形為2( 2 ) 1 ( 1 )m m m? ? ? ?, 原式解因式為 22( 5 5)aa??. 換元變形常用于較復雜的多項式 , 并且其中有相同的部分 , 將相同的項看成整體進 8 行換元 , 掌握換元法 , 進行適當變形 , 能靈活應用于其他復雜的多項式因式分解中 . 2. 拆項變形 例 4 分解因式 33 4 1xx??. 分析 : 拆項變形是一種常見的分解因式的方法 , 拆項變形之后通常分組分解 , 觀察表達式 33 4 1xx??, 容易 想到把前兩項組合并提取 x , 得 2(3 4) 1xx??, 但這個表達式不能繼續(xù)分解下去了 , 需要調整 , 假如小括號中不是減 4 , 而是減 3 就簡單了 , 則可以考慮將 33x 與一次項結合 , 將一次項拆開 , 拆成 3xx??。 根據計算的結果 , 將具體方程或不等式的形式轉化為其具體的解 或解集等 . 2. 恒等變形 恒等變形是在等價變形的思想指導下進行的 , 它的變形形式有代數式恒等變形、多項式 恒等變形、分式恒等變形、三角函數恒等變形、對數式恒等變形等 . 若將兩個代數式子中的 字母換成任意相同的數值 , 這兩個代數式的值都相等 , 我們就稱這兩個代數式恒等 , 表示兩 個代數式恒等的式子叫做恒等式 . 如8 6 (1 8 6 )a a a a? ? ? ? ?是一個恒等式 , 把式子 86a a a??變?yōu)?(1 8 6)a?? 的這步變形 , 使變形的式子恒等 , 我們把這樣的變形叫做恒等 變形 . 4 3. 同解變形 同解變形是在等價轉化思想的指導下 , 通過等價的變換 , 使得原來的等式與變形的等式 有相同的解 . 方程的同解變形的一般形式有 : 交換其中任意兩個方程的位置 , 其余不變 。 或者考慮將 33x與 常數項結合 , 將常數項拆開 , 拆成 43? . 這樣拆項 , 使復雜問題簡單化 , 更容易使問題得到解決 . 解法一 : 拆一次項 33 4 1xx?? = 33 3 1x x x? ? ? = 23 ( 1) 1x x x? ? ? =3 ( 1)( 1) ( 1)x x x x? ? ? ? =( 1)[3 ( 1) 1]x x x? ? ?
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