【正文】 : 167。 一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作 解三角形 。 ●教學(xué)重點(diǎn) 正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用 。在應(yīng)用兩個定理解決有關(guān)的解三角形和測量問題的過程 中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵學(xué)生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比較。 《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)五的第一部分內(nèi)容，位置相對靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔。本章的兩個主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。 （ 2）能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的生活實(shí)際問題。 本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系。 （三） 教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議 （約 3課時） （約 4課時） （約 1課時） （四） 評價建議 1．要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題。 1． 1． 1 正弦定理 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： 通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用 正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。如圖 1． 12，在 Rt? ABC中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 sina Ac? ， sinb Bc? ，又 sin 1cC?? , A 則 sin sin sina b c cA B C? ? ? b c 從而在 直角三角形 ABC中， sin sin sina b cA B C?? C a B (圖 1． 12) 思考：那么對于任意的 三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ （由學(xué)生討論 、分析） 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如圖 1． 13，當(dāng) ? ABC是銳角三角形時，設(shè)邊 AB上的高是 CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有 CD= sin sina B b A? ,則 sin sinabAB? ， C 同理可得 sin sincbCB? ， b a 從而 sin sinabAB? sincC? A c B (圖 1． 13) 思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 Ⅲ .課堂練習(xí) 第 4頁練習(xí)第 1（ 1） 、 2（ 1）題。 由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 第 3 課時 課題 : 167。下面進(jìn)一步來研究這種情形下解三角形的問題。 分析：由余弦定理可知 2 2 22 2 22 2 2是 直 角 ABC 是 直 角 三 角 形是 鈍 角 ABC 是 鈍 角 三 角 形是 銳 角a b c Aa b c Aa b c A? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ABC 是 銳 角 三 角 形? （注意： 是 銳 角A ? ABC 是 銳 角 三 角 形? ） 解： 2 2 27 5 3?? ，即 2 2 2a b c??， ∴ ABC 是 鈍 角 三 角 形? 。 第 4 課時 課題 : 167。 求 A、 B兩點(diǎn)的距離 (精確到 ) 啟發(fā)提問 1： ? ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個定理比較適當(dāng)？ 啟發(fā)提問 2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。 變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距 40米的 C、 D兩點(diǎn)，測得 ? BCA=60? ， ? ACD=30? ， ? CDB=45? ， ? BDA =60? 略解：將題中各已知量代入例 2推出的公式，得 AB=20 6 評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解 決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。 分析：求 AB長的關(guān)鍵是先求 AE，在 ? ACE中，如能求出 C點(diǎn)到建筑物頂部 A的距離 CA，再測出由 C點(diǎn)觀察 A的仰角，就可以計(jì)算出 AE的長。 Ⅴ .課后作業(yè) 課本第 19頁練習(xí)第 8題 為測某塔 AB的高度，在一幢與塔 AB相距 20m的樓的樓頂處測得塔頂 A的仰角為 30? ，測得塔基 B的俯角為 45? ，則塔 AB的高度為多少 m？ 答案 ： 20+ 3320 (m) 第 6 課時 課題 : 167。 解：在 ? ABC中， ? ABC=180? 75? + 32? =137? ，根據(jù)余弦定理， AC= A B CBCABBCAB ????? c o s222 = ?????? 137c o 22 ≈ 根據(jù)正弦定理 , CABBC?sin = ABCAC?sin sin? CAB = ACABCBC ?sin = ? ≈ , 所以 ? CAB =? , 75? ? CAB =? 答 :此船應(yīng) 該沿北偏東 ? 的方向航行 ,需要航行 mile 補(bǔ)充 例 在某點(diǎn) B處測得建筑物 AE的頂端 A的仰角為 ? ，沿 BE方向前進(jìn) 30m，至點(diǎn) C處測得頂端 A的仰角為 2? ，再繼續(xù)前進(jìn) 10 3 m至 D點(diǎn)，測得頂端 A的仰角為 4? ，求 ? 的大小和建筑物 AE的 高。 應(yīng)用舉例 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識 和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問題 , 掌 握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用 過程與方法： 本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。 由學(xué)生解答，老師巡視并對學(xué)生解答進(jìn)行講評小結(jié)。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。 例 3．如圖，我炮兵陣地位于 A處，兩觀察所分別設(shè)于 C、 D，已知 ABC? 為邊長等于 a 的正三角形，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)于 B 時，測得 45CDB ???， 75BCD ???，試求炮擊目標(biāo) 的距離AB。 ●教學(xué)重點(diǎn) 數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用 ●教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 ●教學(xué)過程 Ⅰ .課題導(dǎo)入 三角形數(shù)： 1， 3， 6， 10，? 正方形數(shù)： 1， 4， 9， 16， 25，? Ⅱ .講授新課 ⒈ 數(shù)列的定義 ：按一定次序排列的一列數(shù)叫做 數(shù)列 . 注意 ：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn) . ⒉ 數(shù)列的項(xiàng) ： 數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的 項(xiàng) . 各項(xiàng)依次叫做這個數(shù)列的第 1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第 2項(xiàng)，?，第 n 項(xiàng)，? . 例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“ 4”是這個數(shù)列的第 1項(xiàng)（或首項(xiàng)），“ 9”是這個數(shù)列中的第 6項(xiàng) . ⒊ 數(shù)列的一般形式 ： ?? , 321 naaaa ，或簡記為 ??na ，其中 na 是數(shù)列的第 n 項(xiàng) 結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列及項(xiàng)的定義 . ②中，這是一個數(shù)列，它的首項(xiàng)是“ 1”，“ 31 ”是這個數(shù)列的第“ 3”項(xiàng)，等等 奎屯王新敞 新疆 下面我們再來看這些數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號是否有一定的對應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個公式表示？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項(xiàng)的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式） 對于上面的數(shù)列②，第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號有這樣的對應(yīng)關(guān)系： 項(xiàng) 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序號 1 2 3 4 5 這個數(shù)的第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號可用一個公式：nan 1?來表示其對應(yīng)關(guān)系 即：只要依次用 1， 2， 3?代替公式中的 n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項(xiàng) 結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對應(yīng)關(guān)系 ⒋ 數(shù)列的通項(xiàng)公式 ： 如果數(shù)列 ??na 的第 n項(xiàng) na 與 n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式 . 注意 ：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列④； ⑵一個數(shù)列的通項(xiàng)公式有時是不唯一的，如數(shù)列： 1， 0， 1， 0， 1， 0，?它的通項(xiàng)公 式可以是 2 )1(1 1???? nna，也可以是 |2 1cos| ??? nan. ⑶數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng) . 數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第 項(xiàng)，又是這 個數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示．通項(xiàng)公式反映了一個數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)． 數(shù)列可以看成以正整數(shù)集 N*（或它的有限子集 {1， 2， 3，?， n}）為定義域的函數(shù) ()na f n? ，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。 情感態(tài)度與價值觀： 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。 (2) 1a ＝ 1, 2a ＝32, 3a ＝4221?, 4a ＝52, 5a ＝6231?, ∴ na ＝12?n。 ●教學(xué)重點(diǎn) 等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。 3 1?n 。 如數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ； 的通項(xiàng)公式為 ； 的通項(xiàng)公式為 ； 圖象法 啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法是以項(xiàng)數(shù) 為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng) 為縱坐標(biāo)，即以 為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在 軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢 ． 遞推公式法 知識都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活 奎屯王新敞 新疆用其來解決一些實(shí)際問題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型． 模型一： 自上而下： 第 1層鋼管數(shù)為 4；即： 1? 4＝ 1+3 第 2層鋼管數(shù)為 5；即： 2? 5＝ 2+3 第 3層鋼管數(shù)為 6；即： 3? 6＝ 3+3 第 4層鋼管數(shù)為 7；即： 4? 7＝ 4+3 第 5層鋼管數(shù)為 8；即： 5? 8＝ 5+3 第 6層鋼管數(shù)為 9；即： 6? 9＝ 6+3 第 7 層鋼管數(shù)為 10；即： 7? 10＝ 7+3 若用 na 表示鋼管數(shù)， n 表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且 1(3??nan≤ n≤ 7） 運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù) 奎屯王新敞 新疆這會給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來很多方便。是 有窮數(shù)列 無窮數(shù)列 ：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列 .例如數(shù)列 1， 2， 3， 4， 5， 6?是 無窮數(shù)列 2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分： 遞增數(shù)列：從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。 2．在 ABC? 中， a,b,c 分別是 A ， B ， C 的對邊，且 coscos 2BbC a c? ? （ 1）求角 B 的大?。唬?2）若 13, 4b a c? ? ? ，求 a 的值。 2. 根據(jù)實(shí)際情況設(shè)計(jì)測量距離、高度、角度等的測量方案，并能利用正、余弦定理解決實(shí)際問題 3. 靈活運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化求角度、判斷三角形形狀等有關(guān)三角形的問題。 例 在 ? ABC中，求證： （ 1） 。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。 生：上臺板演方位圖（上圖） 教師先引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生積極思考解題方法，讓學(xué)生動手練習(xí)，請三位同學(xué)用三種不同方法板演，然后教師補(bǔ)充講評。除了安排課本上的例 1，還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的 2道例題，強(qiáng)調(diào)知識的傳授更重能力的滲透。由在 H、 G兩點(diǎn)用測