【正文】 入 [復(fù)習(xí)舊知 ] 復(fù)習(xí)提問什么是 正弦定理、余弦定理 以及它們可以解決哪些類型的三角形？ [設(shè)置情境 ] 請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際 測(cè)量問題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。 解三角形 應(yīng)用舉例 ●教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能： 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問題 過程與方法： 本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸。課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng) 地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。 情感態(tài)度與價(jià)值觀： 讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué) 生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn) ●教學(xué)重點(diǎn) 推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目 ●教學(xué)難點(diǎn) 利用 正弦定理、余弦定理 來求證簡(jiǎn)單的證明題 ●教學(xué)過程 Ⅰ .課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境 ] 師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。 二．教學(xué)難點(diǎn)： ① 正、余 弦定理的推導(dǎo)證明，應(yīng)用定理解三角形。 遞減數(shù)列：從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。 Ⅳ .課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．遞推公式及其用法； 2．通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)（或 n項(xiàng)）之間的關(guān)系 . Ⅴ .課后作業(yè) 習(xí)題 2。 解：分析：題中已給出 ??na 的第 1 項(xiàng)即 11?a ，遞推公式：111??? nn aa 解：據(jù)題意可知：3211,211,1 23121 ??????? aaaaa，58,3511 534 ???? aaa [補(bǔ)充例題 ] 例 4 已知 21?a ， nn aa 21 ?? 寫出前 5項(xiàng)，并猜想 na ． 法一： 21?a 22 222 ???a 323 222 ???a ，觀察可得 nna 2? 法二：由 nn aa 21 ?? ∴ 12 ?? nn aa 即 21 ??nnaa ∴ 11232211 2?????? ?????nnnnnnn aaaaaaaa ?? ∴ nnn aa 22 11 ??? ? Ⅲ .課堂練習(xí) 課本 P31練習(xí) 2 [補(bǔ)充練習(xí) ] 1．根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式 (1) 1a ＝ 0, 1?na ＝ na ＋ (2n－ 1) (n∈ N)； (2) 1a ＝ 1, 1?na ＝22?n naa (n∈ N)； (3) 1a ＝ 3, 1?na ＝ 3 na － 2 (n∈ N). 解： (1) 1a ＝ 0, 2a ＝ 1, 3a ＝ 4, 4a ＝ 9, 5a ＝ 16, ∴ na ＝ (n－ 1)2 。 過程與方法： 通過對(duì)一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力． 情感態(tài)度與價(jià)值觀： 通過本節(jié)課的 學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因?yàn)?sin2A=sin2B,有可能推出 2A與 2B兩個(gè)角互補(bǔ)，即 2A+2B=180? ， A+B=90? (2)（解略）直角三角形 Ⅲ .課堂練習(xí) 課本第 18頁練習(xí)第 2題 Ⅳ .課時(shí)小結(jié) 利用正弦定理或余弦定理將 已知條件轉(zhuǎn)化為只 含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。 Ⅴ .課后作業(yè) 課本第 20頁練習(xí)第 11 題 我艦在敵島 A 南偏西 ?50 相距 12 海里的 B 處 ,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西 ?10 的方向以 10海里 /小時(shí)的速度航行 .問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2小時(shí)追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示） 第 7 課時(shí) 課題 : 167。（解題過程略） 例 如圖 ,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛 ,到 A 處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂 D在東偏南 15? 的方向上 ,行駛 5km后到達(dá) B處 ,測(cè)得此山頂在東偏南 25? 的方向上 ,仰角為 8? ,求此山的高度 CD. 師：欲求出 CD，大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？ 生：在 ? BCD中 師：在 ? BCD中，已知 BD或 BC都可求出 CD,根據(jù)條件 ,易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)？ 生： BC邊 解 :在 ? ABC中 , ? A=15? ,? C= 25? 15? =10? ,根據(jù)正弦定理 , ABCsin = CABsin , BC = CAABsinsin =??10sin15sin5 ≈ (km) CD=BC? tan? DBC≈ BC? tan8? ≈ 1047(m) 答 :山的高度約為 1047米 Ⅲ .課堂練習(xí) 課本第 15頁練習(xí)第 3題 Ⅳ .課時(shí)小結(jié) 利用正弦定理和余弦定理來解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖 ,要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。 解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn) C、 D，測(cè)得 CD=a，并且在 C、 D兩點(diǎn)分別測(cè)得 ? BCA=? ， ? ACD=? ， ? CDB=? ， ? BDA =? ，在 ? ADC和 ? BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = )](180sin[ )sin( ??? ?? ???? ?a = )sin( )sin( ??? ?? ???a BC = )](180sin[ sin ???? ????a = )sin( sin ??? ???a 計(jì)算出 AC和 BC后，再在 ? ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出 AB兩點(diǎn)間的距離 AB = ?c o s222 BCACBCAC ??? 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。 （ 4）三角形的兩邊分別為 3cm， 5cm,它們所夾的角的余弦為方程 25 7 6 0xx? ? ? 的根， 求這個(gè)三角形的面積。 （由學(xué)生閱讀課本第 9頁解答過程） 從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)無解的情形。 ●教學(xué)過程 Ⅰ .課題導(dǎo)入 C 如圖 1． 14，在 ? ABC中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b和 ? C，求邊 c b a A c B (圖 1． 14) Ⅱ .講授新課 [探索研究 ] 聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？ 用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因 A、 B均未知，所以較難求邊 c。能否 用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ C B Ⅱ .講授新課 [探索研究 ] (圖 1． 11) 在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。 針對(duì)這些實(shí)際情況，本章 重視從實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把 數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)： （ 1）通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。比如對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對(duì)于三角形進(jìn) 行討論，方法不夠簡(jiǎn)潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。 ●教學(xué)難點(diǎn) 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。 ●教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能： 掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。 ●教學(xué)重點(diǎn) 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形； 三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。 Ⅴ .課后作業(yè) （ 1） 在 ? ABC中，已知 4b? ， 10c? ， 030B? ，試判斷此 三角形的解的情況。 分析：這是例 1的變式題，研究的是 兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問題。 師：那如何求 BD邊呢？ 生：可首先求出 AB邊，再根據(jù) ? BAD=? 求得。 因?yàn)? sin4? =2sin2? cos2? ?cos2? = 23 ,得 2? =30? ?? =15? ， ?在 Rt? ADE中， AE=ADsin60? =15 答：所求角 ? 為 15? ，建筑物高度為 15m 解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè) DE= x， AE=h 在 Rt? ACE中 ,(10 3 + x)2 + h2 =302 在 Rt? ADE中 ,x2 +h2 =(10 3 )2 兩式相減，得 x=5 3 ,h=15 ?在 Rt? ACE中 ,tan2? =xh?310= 33 ?2? =30? ,? =15? 答：所求角 ? 為 15? ，建筑物高度為 15m 解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為 AE=8，由題意 ，得 ? BAC=? ， ? CAD=2? ， AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt? ACE中， sin2? =30x ① 在 Rt? ADE中， sin4? =3104, ② ② ? ① 得 cos2? = 23 ,2? =30? ,? =15? ， AE=ADsin60? =15 答：所求角 ? 為 15? ，建筑物高度為 15m 補(bǔ)充 例 某巡邏艇在 A 處發(fā)現(xiàn)北偏東 45? 相距 9 海里的 C 處有一艘走私船，正沿南偏東75? 的方向以 10海里 /小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以 14海里 /小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？ 師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型 分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。 答案： a=6,S=9 3 。 4．測(cè)一塔（底不可到達(dá)）的高度，測(cè)量者在遠(yuǎn)處向塔前進(jìn)，在 A處測(cè)得塔頂 C的仰角 40? ，再前進(jìn) 20 米到 B 點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得 C 的仰角為 60? ，試求此塔的高度 CD。 即 41?a ； 1145 12 ????? aa ； 1156 23 ????? aa 依此類推： 11 ?? ?nn aa （ 2≤ n≤ 7） 對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第 1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來，這一關(guān)系也較為重要。 正確認(rèn)識(shí)使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng) 過程與方法： 經(jīng)歷等差數(shù)列的簡(jiǎn)單產(chǎn)生過程和應(yīng)用等差數(shù)列的基本知識(shí)解決問題的過程。 Ⅴ .課后作業(yè) 課本 P33習(xí)題 1題 （第２課時(shí)） 題 : 167。試求最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度。 （ 3）已知三邊的長(zhǎng)分別為 a=,b=,c= 分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系， 我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要 的元素，就可以求出三角形的面積。然而在實(shí)際的航海生活中 ,人們又會(huì)遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷 失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測(cè)量問題。教學(xué)形式要堅(jiān)持引導(dǎo) ——討論 ——?dú)w納，目的不在于讓 學(xué)生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。今天我們開始學(xué)習(xí) 正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。 （ 3）在 ? ABC 中， a xcm? ， 2b cm? ， 045B?? ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。 [補(bǔ)充練習(xí) ]在 ? ABC中，若 2 2 2a b c bc? ? ? ，求角 A（答案： A=1200 ） Ⅳ .課時(shí)小結(jié) （ 1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理