【正文】 的等式，結(jié)合 x1=3推出 2p+q=3,從而得到 p,q. ［解析］ 由 x1=3,得 2p+q=3, ① 又 x4=24p+4q,x5=25p+5q,且 x1+x5=2x4,得 3＋ 25p+5q=25p+8q, ② 由①②得 q=1,∴ p=1. ［說明］ 若三數(shù) a,b,c成等差數(shù)列，則 a+c=2b,即 b為 a,c的等差中項(xiàng)，這個(gè)結(jié)論在已 知等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到 . 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 ［例 4］ 某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第 1年獲利 200萬(wàn)元，從第 2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少 20萬(wàn)元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？ ［解析］ 由題意可知，設(shè)第 1年獲利為 a1，第 n年獲利為 an,則 anan1=20,(n≥ 2,n∈ N＋ ),每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列｛ an｝ ,且首項(xiàng) a1=200,公差 d=20, 所以 an=a1+(n1)d =200+(n1)( 20)=20n+220. 若 an0,則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損， 由 an＝ 20n＋ 2200,解得 n11, 即從第 12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損 . ［說明］ 關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題，首先要建立數(shù)列模型將實(shí)際問題數(shù)列化 . 變式應(yīng)用 4 2020年將在倫敦舉辦奧運(yùn)會(huì)，倫敦將會(huì)有很多的體育場(chǎng)，為了實(shí)際效果，體育場(chǎng)的看臺(tái)一般呈“輻射狀” .例如，某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)座位是這樣排列的：第一排有 150個(gè)座位，從第二排起每一排都比前一排多 20個(gè)座位，你能用 an表示第 n排的座位數(shù)嗎？第10排可坐多少人？ ［分析］ 分 析題意知，看臺(tái)上的每一排的座位數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列 . ［解析］ 由題意知，每排的座位數(shù)組成了一個(gè)首項(xiàng)為 a1=150,公差為 d=20的等差數(shù)列， ∴ an=a1+(n1)d=150+(n1) 20=20n+130, 則 a10=330,即第 10排可坐 330人 . 名師辨誤做答 ［例 5］ 已知數(shù)列｛ an｝ ,a1=a2=1,an=an1+2(n≥ 3). （ 1）判斷數(shù)列｛ an｝是否為等差數(shù)列？說明理由； （ 2）求｛ an｝的通項(xiàng)公式 . ［誤解］ （ 1）∵ an=an1+2, ∴ anan1=2(為常數(shù) )， ∴｛ an｝是等差數(shù)列 . （ 2）由上述可知， an=1+2(n1)=2n1. ［辨析］ 忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)之間的整體關(guān)系，而判斷特殊數(shù)列的類型是初學(xué)者易犯的錯(cuò)誤 .事實(shí)上，數(shù)列｛ an｝從第 2項(xiàng)起，以后各項(xiàng)組成等差數(shù)列，而｛ an｝不是等差數(shù)列， an=f(n)應(yīng)該表示為“分段函數(shù)”型 . ［正解］ （ 1）當(dāng) n≥ 3時(shí)， an=an1+2, 即 anan1=2. 當(dāng) n=2時(shí)， a2a1=0不滿足上式 . ∴｛ an｝不是等差數(shù)列 . （ 2）∵ a2=1,an=an1+2(n≥ 3)， ∴ a3=a2+2=3. ∴ a3a2=2. 當(dāng) n≥ 3時(shí)， anan1=2. ∴ an=a2+(n2)d=1+2(n2)=2n3, 又 a1=1不滿足此式 . 1 (n=1) ∴ an= . 2n3 (n≥ 2) 課堂鞏固訓(xùn)練 一、選擇題 1.（ 2020 a7=7， ② 由①、②解得 a3=1,a7=7,或 a3=7,a7=1, ∴ a3=1， d=2或 a3=7,d=2. 由 an=a3+(n3)d,得 an=2n7或 an=2n+13. ［說明］ 本題利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，可以使計(jì)算過程變簡(jiǎn)單，達(dá)到了事半功倍的效果 . 變式應(yīng)用 2 在等差數(shù)列 {an}中，若 a3+a5+a7+a9+a11=100,則 3a9a13的值為（ ） ［答案］ C ［解析］ ∵ a3+a5+a7+a9+a11=100, 又∵ a3+a11=a5+a9=2a7, ∴ 5a7=100,∴ a7=20, ∴ 3a9a13=3(a7+2d)(a7+6d) =3a7+6da76d =2a7=40. 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 ［例 3］ 已知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為 2，首末兩項(xiàng)的積為 8，求這四個(gè)數(shù) . ［分析］ 此題常規(guī)方法是利用已知條件，先求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出這四個(gè)數(shù) .其實(shí) ,因?yàn)檫@里成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和已知，故可設(shè)此四個(gè)數(shù)為 a3d,ad,a+d,a+3d,這樣求解更為方便，但必須注意這時(shí)的公差應(yīng)為 2d. ［解析］ 解法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為 a3d,ad,a+d,a+3d(公差為 2d), 依題意， 2a=2,且（ a3d） (a+3d)=8, ∴ a=1,a29d2=8, ∴ d2=1, ∴ d=1或 d=1. 又知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列， ∴ d0, ∴ d=1,故所求的四個(gè)數(shù)為 2， 0， 2， 4. 解法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為 a,a+d,a+2d,a+3d(公差為 d)， 依題意， 2a+3d=2,且 a(a+3d)=8, 把 a=123 d代入 a(a+3d)=8, 得（ 123 d） (1+23 d)=8,即 149 d2=8, 化簡(jiǎn)得 d2=4,∴ d=2 或 2. 又知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，∴ d0,∴ d=2,a=2. 故所求的四個(gè)數(shù)為 2， 0， 2， 4. ［說明］ 此題設(shè)法很重要，一般地有如下規(guī)律：（ 1）若所給等差數(shù)列為 2n(n∈ N+)項(xiàng)，則可設(shè)為： a(2n1)d,? ,a3d,ad,a+d,a+3d,? ,a+(2n1)d,此數(shù)列的公差為 2d.(2)若所給等 差 數(shù) 列 的 項(xiàng) 數(shù) 為 2n1(n ∈ N+) 項(xiàng) , 則 這 個(gè) 數(shù) 列 可 設(shè) 為 ：a(n1)d,? ,ad,a,a+d,? ,a+(n1)d,這個(gè)數(shù)列的公差為 d. 變式應(yīng)用 3 已知 5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為 5，平方和為 985 ，求這 5個(gè)數(shù) . ［解析］ 設(shè)這五個(gè)數(shù)依次為 a2d,ad,a,a+d, a+2d,由題意，得 5a=5 (a2d) 2+(ad)2+a2+(a+d) 2+(a+2d) 2 =985 a=1 解得 d2=94 a=1 ∴ d=177。 (3)列出等式（或方程）求解 。 10k=111k. ∴1111ba = kk111148 =34 . 課堂鞏固訓(xùn)練 一、選擇題 ｛ an｝中，已知 a2=2,a8=10,則前 9項(xiàng)和 S9＝（ ） ［答案］ D ［解析］ ∵ {an}是等差數(shù)列， ∴ a2+a8=a1+a9=2+10=12, ∴ S9= 2 )(9 91 aa ?? = 2129? ＝ 54. ｛ an｝是等差數(shù)列， a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列的前 20 項(xiàng)和等于（ ） ［答案］ B ［解析］ ∵ {an}是等差數(shù)列， ∴ a1+a20=a2+a19=a3+a18, 又 a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78, ∴ a1+a20+a2+a19+a3+a18=54. ∴ 3(a1+a20)=54, ∴ a1+a20=18. ∴ S20= 2 )(20 201 aa ? =180. {an}的前 n項(xiàng)和為 a1=21 ， S4=20，則 S6=（ ） ［答案］ D ［解析］ 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d, ∵ a1=21 ,S4=4 21 + 234? d=2+6d=20, ∴ d=3,故 S6=6 21 + 256? 3=48,故 選 D. 二、填空題 {an}中， a1=1,a3+a5=14,其前 n項(xiàng)和 Sn=100,則 n= . ［答案］ 10 ［解析］ 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d, a1+2d+a1+4d=14 由題意，得 ，解得 d=2. a1=1 又 Sn=na1+ 2 )1( ?nn d, ∴ 100=n+ 2 )1( ?nn 2 解得 n=10. ｛ an｝中， S11=2020，則 a6= . ［答案］ 183 ［解析］ ∴ S11=2 )(11 111 aa ?=2211 6a?=11a6=2020, ∴ a6=183. 三、解答題 ｛ an｝中：已知 S7=42,Sn=510， an3=45,求 n. ［解析］ S7= 2 )(7 71 aa ? =7a4=42,∴ a4=6. ∴ Sn= 2 )( 1 naan ? = 2 )( 34 ?? naan = 2 )456( ?n =510. ∴ n=20. 課后強(qiáng)化作業(yè) 一、選擇題 {an}滿足 a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前 10項(xiàng)和 S10=（ ） ［答案］ C ［解析］ 設(shè)等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng)為 a1,公差為 d. a2+a4=4 ① 則 a3+a5=10 ② ② ①得 2d=6,∴ d=3. a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=2a1+4 3=4, ∴ a1=4, S10=10 (4)+ 2910? 3=40+135=95. 故選 C. {an}中， a2+4a7+a12=100,則 2a3+a15等于 （ ） ［答案］ D ［解析］ ∵ a2+a12=2a7, ∴ 6a7=100,∴ 3a7=50. 又 2a3+a15=2(a74d)+a7+8d =3a7=50,故選 D. 21，末四項(xiàng)之和為 67，前 n項(xiàng)和為 286，則項(xiàng)數(shù) n為 （ ） ［答案］ B ［解析］ 設(shè)該等差數(shù)列為｛ an｝ , 由題意，得 a1+a2+a3+a4=21, an+an1+an2+an3=67, 又∵ a1+an=a2+an1=a3+an2=a4+an3, ∴ 4(a1+an)=21+67=88, ∴ a1+an=22. ∴ Sn=2 )( 1 naan ?=11n=286, ∴ n=26. 4.(2020廣東理， 11)等差數(shù)列｛ an｝前 9 項(xiàng)的和等于前 4 項(xiàng)的和 .若 a1=1,ak+a4=0,則k= . ［答案］ 10 ［解析］ 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式以及基本運(yùn)算能力 . 設(shè)等差數(shù)列公差為 d，則 an=1+(n1)d, ∵ S4=S9,∴ a5+a6+a7+a8+a9=0， ∴ a7=0,∴ 1+6d=0,d=61 . 又 a4=1+3 (61 )=21 ,ak=1+(k1)d, ∴ 21 +1+(k1)d=0， d=61 代入，得 k=10. {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=3n2n2（ n∈ N+），則 an= ,此時(shí) Sn 與 nan 的大小關(guān)系是 . ［答案］ 4n+5 Sn≥ nan ［解析］ n=1時(shí)， S1=a1=1。 n(n+ab ), 設(shè) Sn=(7n+1)洛陽(yáng)模擬 )已知｛ an｝為等差數(shù)列， a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,則 a20= . ［答案］ 1 ［解析］ ∵ a1+a3+a5=105,即 3a3=105 ∴ a3=35,同理 a4=33, ∴ d=a4a3=2 ∴ a20=a4+(204)d=1. {an}中，公差為 21 ，且 a1+a3+a5+? +a99=60，則 a2+a4+a6+? +a100= . ［答案］ 85 ［解析］ 由等差數(shù)列的定義知 a2+a4+a6+? +a100 =a1+a3+a5+? +a99+50d =60+25=85. 三、解答題 {an}中， a2+a6+a10=1,求 a3+a9. ［解析］ ∵ a2+a10=2a6, ∴ 3a6=1,a6=31. ∴ a3+a9=2a6=32. ｛ an｝的公差是正數(shù)，且 a3a7=12,a4+a6=4,求｛ an｝的通項(xiàng)公式 . ［解析］ ∵ a3+a7=a4+a6=4,又 a3a7=12 ∴ a a7是方程 x2+4x12=0的兩根 而 d0,∴ a3=6,a7=2. a1+2d=6 ∴ a1+6d=2 故 a1=10,d=2,∴ an=2n12.