【正文】 =252n≤ 0 n≥ 1221 所以當(dāng) n=13時(shí)， Sn有最大值 169. 解法三：同解法一先求出 d= S17=S9，得 a10+a11+? +a17=0，而 a10+a17=a11+a16=a12+a15 =a13+a14,故 a13+a14= d=20,a10,所以 a130,a140,故 n=13時(shí)， Sn有最大值 169. 解法四：同解法一先求出 d= d=2，得 Sn的圖像如圖所示（圖像上一些孤立點(diǎn)），由 S17=S9知圖像對(duì)稱軸為 n= 2179? =13,所以當(dāng) n=13 時(shí)，Sn取得最大值 169. 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 等差數(shù)列前 n項(xiàng)和在實(shí)際問題中的應(yīng)用 ［例 4］ 有 30 根水泥電線桿，要運(yùn)往 1000 m遠(yuǎn)的地方開始安裝，在 1000 m 處放一根，以后每隔 50 m放一根，一輛汽車每次只能運(yùn)三根，如果用一輛汽車完成這項(xiàng)任務(wù)，這輛汽車的行程共多少？ ［分析］ 這是一道等差數(shù)列求和的應(yīng)用題 .對(duì) 于應(yīng)用題首先是根據(jù)問題給出的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，然后解此數(shù)學(xué)問題，最后再回到應(yīng)用問題作出結(jié)論 . ［解析］ 解法 1：如圖所示示意圖，假定 30根水泥電線桿存放 M處 . a1=|MA|=1000(m),a2=|MB|=1050(m), a3=|MC|=1100(m),a6=a3+50 3＝ 1250(m), ? a30=a3+150 9（ m） . 由于一輛汽車每次只能裝 3根，故每運(yùn)一次只能到 a3,a6,a9,? ,a30這些地方，這樣組成公差為 150 m，首項(xiàng)為 1100的等差數(shù)列，令汽車行程為 S，則有 S＝ 2(a3+a6+? +a30) =2(a3+a3+150 1＋?＋ a3+150 9) ＝ 2（ 10a3+150 291? 9）＝ 2（ 11000＋ 6750） ＝ （ km） . 答：這輛汽車行程共有 km. 解法 2（略解）：根據(jù)題設(shè)和汽車需運(yùn)送十次，可得一等差數(shù)列｛ an｝ ,其 a1=100,d=150,n=10,則 S10=10a1+ 2 )110(10 ? d=7750(m). 所以總共行程為 7750 2＋ 1000 20＝ （ km） . 解法 3（略解） ：根據(jù)題意和汽車每次走的路程可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其中 a1=(1000+50 2) 2＝ 2200， a2=(1000+50 5) 2＝ 2500， ? d=150 2＝ 300，項(xiàng)數(shù)共有 10 項(xiàng)， ∴ Sn=10a1+2 )110(10 ?d =10 2200＋ 5 9 300＝ （ km） . ［說明］ 有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題，應(yīng)首先通過對(duì)實(shí)際問題的研究，建立數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，最后求出符合實(shí)際的答案，一般求解步驟如下： (1)問題中所涉及的數(shù)列 {an}有何特征； (2)是求數(shù)列的通項(xiàng)還是求數(shù)列的前 n項(xiàng)和 。 an｝ (c為任一常數(shù) )是公差為 的等差數(shù)列； ③｛ ank｝ (k∈ N+)是公差為 的等差數(shù)列 . (2)若｛ an｝、｛ bn｝分別是公差為 d d2的等差數(shù)列，則數(shù)列｛ pan+qbn｝ (p、 q 是常數(shù) )是公差為 的等差 數(shù)列 . ［答案］ 1.(nm)d am+an 2ap ank+1 cd kd pd1+qd2 思路方法技巧 命題方向 運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì) an=am+(nm)d(m、 n∈ N+)解題 ［例 1］ 若數(shù)列 {an}為等差數(shù)列， ap=q,aq=p(p≠ q)，則 ap+q為 （ ） +q (p+q) D. 2qp? ［分析］ 本題可用通項(xiàng)公式求解 . 利用關(guān)系式 an=am+(nm)d求解 . 利用一次函數(shù)圖像求解 . ［答案］ B ［解析］ 解法一：∵ ap=a1+(p1)d, aq=a1+(q1)d, a1+(p1)d=q ① ∴ a1+(q1)d=p ② ① ②，得（ pq） d=qp.∵ p≠ q,∴ d=1. 代入①，有 a1+(p1)(1)=q,∴ a1=p+q1. 故 ap+q=a1+(p+q1)d=p+q1+(p+q1)(1)=0.∴應(yīng)選 B. 解法二：∵ ap=aq+(pq)d,∴ q=p+(pq)d,即 qp=(pq)d. ∵ p≠ q,∴ d=1. 故 ap+q=ap+［ (p+qp)］ d=q+q(1)=0.∴應(yīng)選 B. 解法三：不妨設(shè) pq，由于等差數(shù)列中， an關(guān)于 n的圖像是一條直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)，故三點(diǎn)（ p,ap） ,(q,aq),(p+q,ap+q)共線 .設(shè) ap+q=m，由已知，得三點(diǎn)（ p,q） ,(q,p),(p+q,m)共線（如圖） . 由△ ABE∽△ BCF， 得 BEAE =FCBF . ∴pq pq??=qqp mp ???)(. ∴ 1=pmp?. 得 m=0，即 ap+q=0.∴應(yīng)選 B. ［說明］ 本題采用了三種方法，第一種方法使用的是方程思想，由已知建立了兩個(gè)關(guān)于首項(xiàng) a1和公差 d的等式，通過解方程組，達(dá)到解題目的 .第二種方法使用的是通項(xiàng)公式的推廣形式 an=am+(nm)，通過點(diǎn)（ p,ap） ,(q,aq),(p+q,ap+q)共線求得其解，這也是解決本類問題較簡(jiǎn)便的方法 . 變式應(yīng)用 1 已知｛ an｝為等差數(shù)列， a15=8,a60=20,求 a75. ［解析］ 解法一：∵ a15=a1+14d,a60=a1+59d, a1+14d=8 ∴ ， a1+59d=20 a1=1564 解得 d=154 ∴ a75=a1+74d=1564 +74 154 ＝ 24. 解法二：∵ a60=a15+45d, ∴ 45d=a60a15=208=12, ∴ d=154 . ∴ a75=a60+15d=20+15 154 ＝ 24. 命題方向 運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì) am+an=ap+aq(m、 n、 p、 q∈ N+，且 m+n=p+q)解題 ［例 2］ 在等差數(shù)列 {an}中，已知 a2+a5+a8=9， a3a5a7=21，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 . ［分析］ 要求通項(xiàng)公式，需要求出首項(xiàng) a1及公差 d，由 a2+a5+a8=9 和 a3a5a7=21 直接求解很困難，這樣促使我們轉(zhuǎn)換思路 .如果考慮到等差數(shù)列的性質(zhì)，注意到 a2+a8=2a5=a3+a7，問題就好解了 . ［解析］ ∵ a2+a5+a8=9， a3a5a7=21, 又∵ a2+a8=a3+a7=2a5， ∴ a3+a7=2a5=6，即 a5=3. ① ∴ a3 ③若某數(shù)為等差數(shù)列中的一項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出項(xiàng)數(shù) . 由 an=f(n)=a1+(n1)d=dn+(a1d)，可知其圖像是直線 y=dx+(a1d)上的一些等間隔的點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是些正整數(shù)，其中公差 d是該直線的斜率，即自變量每增加 1，函數(shù)值增加 d. 當(dāng) d0時(shí)， {an}為遞增數(shù)列，如圖（甲）所示 . 當(dāng) d0時(shí)， {an}為遞減數(shù)列，如圖 (乙 )所示 . 當(dāng) d=0時(shí)， {an}為常數(shù)列，如圖 (丙 )所示 . 如果在數(shù) a與 b之間插入一個(gè)數(shù) A，使 a， A， b成等差數(shù)列， 那么 A叫做數(shù) a與 b的等差中項(xiàng) . 注意 :(1)等差中項(xiàng) A= 2ba? ? a,A,b成等差數(shù)列； (2)若 a,b,c成等差數(shù)列，那么 b= 2ca? ， 2b=a+c,ba=cb,ab=bc都是等價(jià)的； (3)用遞推關(guān)系 an+1=21 (an+an+2)給出的數(shù)列是等差數(shù)列， an+1 是它的前一項(xiàng) an 與后一項(xiàng) an+2的等差中項(xiàng) . 知能自主梳理 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的 是 ，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列 . 如果在 a與 b中間插入一個(gè)數(shù) A，使 a,A,b成等差數(shù)列，那么 A叫做 . （ 1）要證明數(shù)列 {an}是等差數(shù)列，只要證明：當(dāng) n≥ 2時(shí)， . （ 2）如 果 an+1=2 2?? nn aa對(duì)任意的正整數(shù) n都成立，那么數(shù)列 {an}是 . （ 3）若 a,A,b成等差數(shù)列，則 A＝ . 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ，它的推廣通項(xiàng)公式為 . 當(dāng) d0時(shí)， {an}是 數(shù)列；當(dāng) d=0時(shí)， {an}是 數(shù)列；當(dāng) d0時(shí)， {an｝是 數(shù)列 . ［答案］ 同一個(gè)常數(shù) b的等差中項(xiàng) 3.（ 1） anan1=d(常數(shù) ) (2)等差數(shù)列 （ 3） 2ba? =a1+(n1)d an=am+(nm)d 常 遞減 思路方法技巧 命題方向 等差數(shù)列的定義及應(yīng)用 ［例 1］ 判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列 . （ 1） an=3n+2； （ 2） an=n2+n. ［分析］ 利用等差數(shù)列定義，看 an+1an是否為常數(shù)即可 . ［解析］ (1)an+1an=3(n+1)+2(3n+2)=3(n∈ N+).由 n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列 . (2)an+1an=(n+1) 2+(n+1)(n2+n)=2n+2,不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差 數(shù)列 . ［說明］ 利用定義法判斷等差數(shù)列的關(guān)鍵是看 an+1an得到的結(jié)論是否是一個(gè)與 n無關(guān)的常數(shù)，若是，即為等差數(shù)列，若不是，則不是等差數(shù)列 .至于它到底是一個(gè)什么樣的數(shù)列，這些不再是我們研究的范疇 . 1 n=1 變式應(yīng)用 1 試判斷數(shù)列｛ ｝， = 是否為等差數(shù)列 . 2n5 n≥ 2 ［解析］ ∵ c2c1=11=2, +1=2(n+1)52n+5=2(n≥ 2). ∴ +1(n≥ 1)不等于同一個(gè)常數(shù)，不符合等差數(shù)列定義 . ∴ {}不是等差數(shù)列 . 命題方向 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用 ［例 2］ 已知數(shù)列 {an}為等差數(shù)列，且 a5=11,a8=5,求 a11. ［分析］ 利用通項(xiàng)公式先求出 a1 和 d，再求 a11，也可以利 用通項(xiàng)公式的變形形式an=am+(nm)d求解 . ［解析］ 解法一：設(shè)數(shù)列 {an}的首項(xiàng)為 a1,公差為 d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知，得 a1+4d=11 a1=19 解得 . a1+7d=5 d=2 ∴ a11=19+(111) (2)=1. 解法二：∵ a8=a5+(85)d, ∴ d= 58 58??aa = 3115? =2. ∴ a11=a8+(118)d=5+3 (2)=1. ［說明］ (1)對(duì)于解法一，根據(jù)方程的思想，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出 a1和 d，確定通項(xiàng)，此法也稱為基本量法 . (2)對(duì)于解法二，根據(jù)通項(xiàng)公式的變形公式為： am=an+(mn)d,m,n∈ N+，進(jìn)一步變形為d=nm aa nm??，應(yīng)注意掌握對(duì)它的靈活應(yīng)用 . 變式應(yīng)用 2 已知等差數(shù)列 {an}中， a10=29,a21=62,試判斷 91是否為此數(shù)列中的項(xiàng) . a10=a1+9d=29 ［解析］ 設(shè)等差數(shù)列的公差為 d,則有 ， a21=a1+20d=62 解得 a1=2,d=3. ∴ an=2+(n1) 3＝ 3n1. 令 an＝ 3n1=91,得 n=392 ?N+. ∴ 91不是此數(shù)列中的項(xiàng) . 命題方向 等差中項(xiàng)的應(yīng)用 ［例 3］ 已知 a,b,c成等差數(shù)列，那么 a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列？ ［分析］ 已知 a,b,c 成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的定義，可知 a+c=2b,然后要證其他三項(xiàng)a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列，同樣考慮等差中項(xiàng) .當(dāng)然需用到已知條件 a+c=2b. ［解析］ 因?yàn)?a,b,c成等差數(shù)列，所以 a+c=2b, 又 a2(b+c)+c2(a+b)2b2(c+a) =a2c+c2a+ab(a2b)+bc(c2b) =a2c+c2a2abc=ac(a+c2b)=0, 所以 a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a), 所以 a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差數(shù)列 . ［說明］ 本題主要考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用，如果 a,b,c成等差數(shù)列，則有 a+c=2b。反之，若a+c=2b,則 a,b,c成等差 數(shù)列 . 變式應(yīng)用 3 已知數(shù)列｛ xn｝的首 項(xiàng) x1=3,通項(xiàng) xn=2np+nq(n∈ N＋ ,p,q為常數(shù) )，且 x x x5成等差數(shù)列 .求： p,q的值 . ［分析］ 由 x x x5成等差數(shù)列得出一個(gè)關(guān)于 p,q