北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)46二倍角的三角函數(shù)(完整版)
【正文】 R sin A sin ? 30176。 － C ?sin B － sin C ＝32????????12c os C －32sin Csin ? 60176。 ， c ＝6 － 22. [ 方法總結(jié) ] 已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)正弦定理和大邊對(duì)大角定理或余弦定理進(jìn)行判斷． 已知在 △ ABC 中， a ＝ 7 ， b ＝ 3 ， c ＝ 5 ，求三角形中的最大角及角 C 的正弦值． [ 解析 ] ∵ a c b ， ∴ 角 A 為最大角， 由余弦 定理有 c os A ＝b2＋ c2－ a22 bc＝－12， ∴ A ＝ 120176。 ， C ＝ 15176。＝6 ＋ 22. ( 2) 當(dāng) A ＝ 120176。 ，且 b a ， ∴ 問題有兩解． 由正弦定理，得 sin A ＝a sin Bb＝3 sin45176。 B ． 45176。 求出另一角． 在有解時(shí)只有一解 已知條件 應(yīng)用定理 一般解法 三邊 ( a ， b ， c ) 余弦定理 由余弦定理求出角 A 、 B ；再利用 A ＋ B ＋ C ＝ 180176。c2 R sin A B C asin A b2＋ c2－ a22 bc a2＋ c2－ b22 ac a2＋ b2－ c22 ab 基 礎(chǔ) 自 測(cè) 1.( 教材改編題 ) △ ABC 的邊分別為 a 、 b 、 c ，且 a ＝ 1 ， c＝ 4 2 ， B ＝ 45176。 [ 答案 ] C [ 解析 ] 由余弦定理得： c os A ＝b2＋ c2－ a22 bc＝1 ＋ 4 － 32 1 2＝12， ∵ 0 A π ， ∴ A ＝ 60176。 . ( 1) 當(dāng) A ＝ 60176。 ， ∴ c ＝b sin Csin B＝2 sin15176。 ； 當(dāng) a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， c ＝6 ＋ 22時(shí) ， 由 ① 可得 c os A ＝12， 故 A ＝ 60176。新課標(biāo) Ⅱ ) △ AB C 的內(nèi)角 A 、 B 、 C 的對(duì)邊分別為 a 、 b 、 c ，已知 a ＝ b c os C ＋ c sin B . ( Ⅰ ) 求 B ； ( Ⅱ ) 若 b ＝ 2 ，求 △ ABC 面積的最大值． [ 思路分析 ] (1) 由正弦定理轉(zhuǎn)化為運(yùn)用兩角和差的正弦可以求出 ∠ B ； (2) 由余弦定理結(jié)合面積公式求出面積的最值． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 由已知及正弦定理得 sin A ＝ sin B c os C ＋ sin C si n B ， ① 又 A ＝ π － ( B ＋ C ) ， 故 sin A ＝ sin( B ＋ C ) ＝ si n B c os C ＋ c os B sin C .② 由 ① ， ② 和 C ∈ (0 ， π) 得 sin B ＝ c os B . 又 B ∈ (0 ， π) ，所以 B ＝π4. ( 2) △ ABC 的面積 S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理得 4 ＝ a2＋ c2－ 2 ac c osπ4. 又 a2＋ c2≥ 2 ac ，故 ac ≤42 － 2， 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ c 時(shí)，等號(hào)成立． 因此 △ ABC 面積的最大 值為 2 ＋ 1. [ 方法總結(jié) ] 正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題要根據(jù)具體題目合理選用，有時(shí)還需要交替使用；在解決三角形問題中，面積公式 S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呉灿薪牵菀缀驼叶ɡ?、余弦定理?lián)系起來． 在 △ ABC 中，內(nèi)角 A 、 B 、 C 的對(duì)邊分別為 a 、 b 、 c ，已知 a 、 b 、 c 成等比數(shù)列，且 a ＋ c ＝ 3 ， tan B ＝73，則 △ ABC 的面積為 ( ) A.74 B.54 C.72 D.52 [ 答案 ] A [ 解析 ] 因?yàn)?a 、 b 、 c 成等比數(shù)列，所以 b2＝ ac . 又 b2＝ a2＋ c2
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