【正文】 素構成一組，共有 種取法。1)(0???SfAfnn 是兩兩互不相容事件，則 kAAA ,2,1 ?)()()()( 2121 knnnkn AfAfAfAAAf ?????? ??1. 2. 設 E是隨機試驗 ,S是它的樣本空間 .對于 E的每一個事件 A賦予一個實數(shù) ,記為 P(A),稱為事件 A的概率 . 滿足下列條件 : :對于每個事件 A,有 0)( ? :對于必然事件 S,有 1)( ?SP :設 是兩兩互不相容的事件 ,即對于 ,2,1 ?AA?,2,1, ???? jiAAji ji 則有 ?? ????? )()()( 2121 APAPAAP概率的性質(zhì) : 性質(zhì) 1 0)( ??P性質(zhì) 2(有限可加性 )若 nAAA ?,2,1是兩兩互不相容的事件 ,則有 )()()()( 2121 nn APAPAPAAAP ??????? ??性質(zhì) 3:設 A,B是兩個事件 ,若 ,則有 BA?)()()()()(APBPAPBPABP????性質(zhì) 4:對于任一事件 A, 1)( ?AP性質(zhì) 5:(逆事件的概率 )對于任一事件 A,有 )(1)( APAP ??性質(zhì) 6:(加法公式 )對于任意兩事件 A,B有 )()()()( ABPBPAPBAP ????設 為任意三個事件 ,則有 321 , AAA)AAA(P)AA(P)AA(P)AA(P)A(P)A(P)A(P)AAA(P321323121321321?????????對于任意 n個事件 nAAA , 21 ?)()1()()()()(21111121nnnkjikjinjijiniinAAAPAAAPAAPAPAAAP????????????????????????例 1 :一批產(chǎn)品中 ,一、二、三等品率分別為 ， 。則稱事件 A 與事件 B相等。兩事件對立則表示有且僅有一個發(fā)生 . 事件的運算定律 :設 A,B,C為事件 ,則有 交換律 : 結合律 : 分配律 : 德 .摩根律 : ABBAABBA ?????? 。所以，下面我們介紹一下計數(shù)的基本方法： 乘法原理 :設完成一件事有 n個步驟，第一步有m1種方法，第二步有 m2 種方法， … ，第 n步有mn 種方法，并且完成這件事必須經(jīng)過每一步驟，那么完成這件事共有 種方法。 例 8： 10把鑰匙中有 3把能打開門，今任取兩把，求能打開門的概率。設事件 A為“第一次取到的是一等品”，事件 B為“第二次取到的是一等品”。若 SBBB)ii(n,2,1j,i,ji,BB)i(n21ji??????????則 稱為樣本空間 S的一個劃分。 A為 E的事件 ，B1,B2,… ,Bn為 S的一個劃分 ， 且 P(A)0， ni , ?21?),2,1(0)( niBP i ???則 貝葉斯公式在實際中有很多應用，它可以幫助人們確定某結果（事件 B）發(fā)生的最可能原因 . 例 4 某一地區(qū)患有癌癥的人占 ，患者對一種試驗反應是陽性的概率為 ，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為 ，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大 ? 則 表示“抽查的人不患癌癥” . CCC已知 P(C)=,P( )=, P(A|C)=, P(A| )= 求解如下 : 設 C={抽查的人患有癌癥 }， A={試驗結果是陽性 }， 求 P(C|A). 現(xiàn)在來分析一下結果的意義 . 由 貝葉斯公式 ，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP??代入數(shù)據(jù)計算得 : P(C｜ A)= 2. 檢出陽性是否一定患有癌癥 ? 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？ 如果不做試驗 , 抽查一人 , 他是患者的概率 P(C)= 患者陽性反應的概率是 ，若試驗后得陽性反應，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為 P(C｜ A)= 說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義 . 從 ,將近增加約 21倍 . 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？ 2. 檢出陽性是否一定患有癌癥 ? 試驗結果為陽性 ,此人確患癌癥的概率為 P(C｜ A)= 即使你檢出陽性，尚可不必過早下結論你有癌癥，這種可能性只有 % (平均來說， 1000個人中大約只有 107人確患癌癥 )，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認 . 該球取自哪號箱的可能性最大 ? 實際中還有下面一類問題，是 “已知結果求原因” 這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小 . 某人從任一箱中任意摸出一球， 發(fā)現(xiàn)是紅球 ,求該球是取自 1號箱的概率 . 1 2 3 1紅 4白 或者問 : 下面我們再回過頭來看一下貝葉斯公式 ???niiiiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()|(｜｜貝葉斯公式 在貝葉斯公式中， P(Bi)和 P(Bi |A)分別稱為 原因的 驗前概率 和 驗后概率 . P(Bi)(i=1,2,…, n)是在沒有進一步信息（不知道事件 A是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識 . 當有了新的信息（知道 A發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小 P(Bi | A)有了新的估計 . 貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化 。如果已知這 100件樂器中恰有 4件是音色不純的。一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，顧客開箱隨意地察看 4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。 全概率公式 定理：設試驗 E的樣本空間為 S， A為 E的事件， nBBB , 21 ?為 S的一個劃分，且 ),2,1(0)( niBP i ??? 則 )()|()()()()()()()(12211iniinnBPBAPBPBAPBPBAPBPBAPAP??????? ?在較復雜情況下直接計算 P(A)不易 ,但 A總是伴隨著某個 Bi出現(xiàn)，適當?shù)厝嬙爝@一組 Bi往往可以簡化計算 . ???niii BAPBPAP1)()()( ｜全概率公式的來由 , 不難由上式看出 : “全”部概率 P(A)被分解成了許多部分之和 . 它的理論和實用意義在于 : 某一事件 A的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,… ,n)， 如果 A是由原因 Bi所引起 ， 則A發(fā)生的概率是 每一原因都可能導致 A發(fā)生，故 A發(fā)生的概率是各原因引起 A發(fā)生概率的總和，即全概率公式 . P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 全概率公式 . 我們還可以從另一個角度去理解 例 3 甲箱中有 5個正品和 3個次品，乙箱中有 4個正品和 3個次品。每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入 a只與所取出的那只球同色的球。 在幾何概型試驗中，事件 A的概率 ： 的度量的度量SAP ( A ) ?上述度量是指線段長度，可求積平面區(qū)域的面積，可求積空間區(qū)域的體積等。若第一