【正文】 素構(gòu)成一組，共有 種取法。1)(0???SfAfnn 是兩兩互不相容事件，則 kAAA ,2,1 ?)()()()( 2121 knnnkn AfAfAfAAAf ?????? ??1. 2. 設(shè) E是隨機(jī)試驗(yàn) ,S是它的樣本空間 .對(duì)于 E的每一個(gè)事件 A賦予一個(gè)實(shí)數(shù) ,記為 P(A),稱為事件 A的概率 . 滿足下列條件 : :對(duì)于每個(gè)事件 A,有 0)( ? :對(duì)于必然事件 S,有 1)( ?SP :設(shè) 是兩兩互不相容的事件 ,即對(duì)于 ,2,1 ?AA?,2,1, ???? jiAAji ji 則有 ?? ????? )()()( 2121 APAPAAP概率的性質(zhì) : 性質(zhì) 1 0)( ??P性質(zhì) 2(有限可加性 )若 nAAA ?,2,1是兩兩互不相容的事件 ,則有 )()()()( 2121 nn APAPAPAAAP ??????? ??性質(zhì) 3:設(shè) A,B是兩個(gè)事件 ,若 ,則有 BA?)()()()()(APBPAPBPABP????性質(zhì) 4:對(duì)于任一事件 A, 1)( ?AP性質(zhì) 5:(逆事件的概率 )對(duì)于任一事件 A,有 )(1)( APAP ??性質(zhì) 6:(加法公式 )對(duì)于任意兩事件 A,B有 )()()()( ABPBPAPBAP ????設(shè) 為任意三個(gè)事件 ,則有 321 , AAA)AAA(P)AA(P)AA(P)AA(P)A(P)A(P)A(P)AAA(P321323121321321?????????對(duì)于任意 n個(gè)事件 nAAA , 21 ?)()1()()()()(21111121nnnkjikjinjijiniinAAAPAAAPAAPAPAAAP????????????????????????例 1 :一批產(chǎn)品中 ,一、二、三等品率分別為 ， 。則稱事件 A 與事件 B相等。兩事件對(duì)立則表示有且僅有一個(gè)發(fā)生 . 事件的運(yùn)算定律 :設(shè) A,B,C為事件 ,則有 交換律 : 結(jié)合律 : 分配律 : 德 .摩根律 : ABBAABBA ?????? 。所以，下面我們介紹一下計(jì)數(shù)的基本方法： 乘法原理 :設(shè)完成一件事有 n個(gè)步驟，第一步有m1種方法，第二步有 m2 種方法， … ，第 n步有mn 種方法，并且完成這件事必須經(jīng)過每一步驟，那么完成這件事共有 種方法。 例 8： 10把鑰匙中有 3把能打開門，今任取兩把，求能打開門的概率。設(shè)事件 A為“第一次取到的是一等品”，事件 B為“第二次取到的是一等品”。若 SBBB)ii(n,2,1j,i,ji,BB)i(n21ji??????????則 稱為樣本空間 S的一個(gè)劃分。 A為 E的事件 ，B1,B2,… ,Bn為 S的一個(gè)劃分 ， 且 P(A)0， ni , ?21?),2,1(0)( niBP i ???則 貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因 . 例 4 某一地區(qū)患有癌癥的人占 ，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為 ，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為 ，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問此人是癌癥患者的概率有多大 ? 則 表示“抽查的人不患癌癥” . CCC已知 P(C)=,P( )=, P(A|C)=, P(A| )= 求解如下 : 設(shè) C={抽查的人患有癌癥 }， A={試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性 }， 求 P(C|A). 現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義 . 由 貝葉斯公式 ，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP??代入數(shù)據(jù)計(jì)算得 : P(C｜ A)= 2. 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥 ? 1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥 有無(wú)意義？ 如果不做試驗(yàn) , 抽查一人 , 他是患者的概率 P(C)= 患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是 ，若試驗(yàn)后得陽(yáng)性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來(lái)的信息，此人是患者的概率為 P(C｜ A)= 說明這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義 . 從 ,將近增加約 21倍 . 1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥 有無(wú)意義？ 2. 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥 ? 試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性 ,此人確患癌癥的概率為 P(C｜ A)= 即使你檢出陽(yáng)性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有 % (平均來(lái)說， 1000個(gè)人中大約只有 107人確患癌癥 )，此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來(lái)確認(rèn) . 該球取自哪號(hào)箱的可能性最大 ? 實(shí)際中還有下面一類問題，是 “已知結(jié)果求原因” 這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小 . 某人從任一箱中任意摸出一球， 發(fā)現(xiàn)是紅球 ,求該球是取自 1號(hào)箱的概率 . 1 2 3 1紅 4白 或者問 : 下面我們?cè)倩剡^頭來(lái)看一下貝葉斯公式 ???niiiiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()|(｜｜貝葉斯公式 在貝葉斯公式中， P(Bi)和 P(Bi |A)分別稱為 原因的 驗(yàn)前概率 和 驗(yàn)后概率 . P(Bi)(i=1,2,…, n)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件 A是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí) . 當(dāng)有了新的信息（知道 A發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小 P(Bi | A)有了新的估計(jì) . 貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化 。如果已知這 100件樂器中恰有 4件是音色不純的。一顧客欲購(gòu)一箱玻璃杯，在購(gòu)買時(shí)，售貨員隨意取一箱，顧客開箱隨意地察看 4只，若無(wú)殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。 全概率公式 定理：設(shè)試驗(yàn) E的樣本空間為 S， A為 E的事件， nBBB , 21 ?為 S的一個(gè)劃分，且 ),2,1(0)( niBP i ??? 則 )()|()()()()()()()(12211iniinnBPBAPBPBAPBPBAPBPBAPAP??????? ?在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算 P(A)不易 ,但 A總是伴隨著某個(gè) Bi出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組 Bi往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算 . ???niii BAPBPAP1)()()( ｜全概率公式的來(lái)由 , 不難由上式看出 : “全”部概率 P(A)被分解成了許多部分之和 . 它的理論和實(shí)用意義在于 : 某一事件 A的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,… ,n)， 如果 A是由原因 Bi所引起 ， 則A發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致 A發(fā)生，故 A發(fā)生的概率是各原因引起 A發(fā)生概率的總和，即全概率公式 . P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 全概率公式 . 我們還可以從另一個(gè)角度去理解 例 3 甲箱中有 5個(gè)正品和 3個(gè)次品，乙箱中有 4個(gè)正品和 3個(gè)次品。每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入 a只與所取出的那只球同色的球。 在幾何概型試驗(yàn)中，事件 A的概率 ： 的度量的度量SAP ( A ) ?上述度量是指線段長(zhǎng)度，可求積平面區(qū)域的面積，可求積空間區(qū)域的體積等。若第一