chap1-概率論的基本概念(存儲版)
【正文】 3件中至少有一件在測試中被認(rèn)為音色不純，則這批樂器就被拒絕接收。 顯然 P(A|B)=P(A) 這就是說 ,已知事件 B發(fā)生 ,并不影響事件 A發(fā)生的概率 ,這時稱事件 A、 B獨(dú)立 . 第六節(jié) 兩事件的獨(dú)立性 B ={第一次擲出 6點(diǎn) }， A ={第二次擲出 6點(diǎn) }， 先看一個例子： 將一顆均勻骰子連擲兩次， 設(shè) 由乘法公式知， 當(dāng)事件 A、 B獨(dú)立時，有 P(AB)=P(A) P(B) 用 P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨(dú)立性 ,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好 ,它不受 P(B)0或 P(A)0的制約 . P(AB)=P(B)P(A|B) 若兩事件 A、 B滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 則稱 A、 B獨(dú)立，或稱 A、 B相互獨(dú)立 . 兩事件獨(dú)立的定義 例 1 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A={抽到 K}, B={抽到的牌是黑色的 } 可見 , P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 說明事件 A、 B獨(dú)立 . 問事件 A、 B是否獨(dú)立？ 解： P(AB)=2/52=1/26 P(B)=26/52=1/2 前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計(jì)算條件概率去做 : 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張 ,記 A={抽到 K}, B={抽到的牌是黑色的 } 在實(shí)際應(yīng)用中 , 往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立 . 則 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 說明事件 A、 B獨(dú)立 . 在實(shí)際應(yīng)用中 ,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立 . 由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為 A、 B獨(dú)立 . 甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記 A={甲命中 }, B={乙命中 }， A與 B是否獨(dú)立？ 例如 （即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率） 一批產(chǎn)品共 n件，從中抽取 2件，設(shè) Ai={第 i件是合格品 } i=1,2 若抽取是有放回的 , 則 A1與 A2獨(dú)立 . 因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到 第一次抽取的影響 . 又如： 因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果 不受第一次抽取的影響 . 若抽取是無放回的，則 A1 與 A2不獨(dú)立 . 請問：如圖的兩個事件是獨(dú)立的嗎？ 即 : 若 A、 B互斥，且 P(A)0, P(B)0, 則 A與 B不獨(dú)立 . 反之，若 A與 B獨(dú)立，且 P(A)0,P(B)0, 則 A 、 B不互斥 . 而 P(A) ≠0, P(B) ≠0 故 A、 B不獨(dú)立 我們來計(jì)算： P(AB)=0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即 A BS 問：能否在樣本空間 S中找兩個事件 ,它們既相互獨(dú)立又互斥 ? 這兩個事件就是 S和 ?P( S) =P( )P(S)=0 ?? 與 S獨(dú)立且互斥 ??? ?s不難發(fā)現(xiàn)， 與任何事件都獨(dú)立 . ?設(shè) A、 B為互斥事件，且 P(A)0,P(B)0, 下面四個結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系 . 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 設(shè) A、 B為獨(dú)立事件，且 P(A)0,P(B)0, 下面四個結(jié)論中，正確的是： 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 再請你做個小練習(xí) . B=P(A)[1P(B)]= P(A) P( ) = P(A)P(AB) BP(A )= P(AA B) A、 B獨(dú)立 故 A與 獨(dú)立 . B 概率的性質(zhì) = P(A)P(A) P(B) 證明 : 僅證 A與 獨(dú)立 B容易證明 ,若兩事件 A、 B獨(dú)立，則 BABABA 與與與 , 也相互獨(dú)立 . 二、多個事件的獨(dú)立性 將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個事件： 對于三個事件 A、 B、 C，若 P(AB)= P(A)P(B) 四個等式同時 P(AC)= P(A)P(C) 成立 ,則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) A、 B、 C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨(dú)立 . 推廣到 n個事件的獨(dú)立性定義 ,可類似寫出： 包含等式總數(shù)為： 1201)11(32??????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnn?對 n個事件 A1,A2 ....An，若對任意 k=2,3,…n和任意一組 都有 , 則稱事件 A1,A2 ....An是相互獨(dú)立的 . nii1 k1 ???? ?)A(P)A(P)A(P)AAA(P k21k21 iiiiii ?? ?請注意多個事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立 的區(qū)別與聯(lián)系 兩兩獨(dú)立 相互獨(dú)立 對 n(n2)個事件 ? 對獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡化： 例 2 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為 1/5， 1/3， 1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人編號為 1， 2， 3， 三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用 所求為 P(A1 A2 A3) 記 Ai={第 i個人破譯出密碼 } i=1,2,3 ? ?記 Ai={第 i個人破譯出密碼 } i=1,2,3 所求為 P(A1+A2+A3) 已知 , P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) )(121 nAAAP ????)(1 321 AAAP??)()()(1 321 APAPAP?? =1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)] ??????n個獨(dú)立事件和的概率公式 : nAAA , 21 ?設(shè) 事件 相互獨(dú)立 ,則 ）? nAAP ???? 1(1)(1 21 nAAAP ??? )()()( nAPAPAP ?211 ?? 也相互獨(dú)立 nAAA , 21 ? 也就是說， n個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生 的概率等于 1減去各自對立事件概率的乘積 . )( 1 nAAP ?? ?nAAA , 21 ?則 “ 至少有一個發(fā)生” 的概率為 )()()(1 21 nAPAPAP ???,1 npp ?nAAA , 21 ?若設(shè) n個獨(dú)立事件 發(fā)生的概率 分別為 類似可以得出： nAAA , 21 ?至少有一個不發(fā)生” 的概率為 “ )( 21 nAAAP ??? ?=1 p1 … p n
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