-1--中值定理(完整版)
【正文】 ?滿足 : )()( aFbF ? ))(( abF ??? ? ba ???0?要證 )()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx ?????證 : 作輔助函數(shù) )()()()()()()( xfxFaFbFafbfx ?????)()()( )()()()()( baFbF bFafaFbfa ?? ????,),(,],[)( 內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則 babax? 且 使 即 由羅爾定理知 , 至少存在一點(diǎn) .)( )()()( )()( ??FfaFbF afbf ?????思考 : 柯西定理的下述證法對嗎 ? ),(,))(()()( baabfafbf ????? ???),(,))(()()( baabFaFbF ????? ??兩個 ? 不 一定相同 錯 ! 上面兩式相比即得結(jié)論 . 柯西定理的幾何意義 : )(?F)(aF?????)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy???注意 : xyo弦的斜率 切線斜率 )0()1( FF ?例 5. 設(shè) ,)( 2xxF ?至少存在一點(diǎn) 使 證 : 結(jié)論可變形為 設(shè) 則 )(,)( xFxf 在 [0, 1] 上滿足柯西中值 定理條件 , 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? , 使 )(?F?01?即 證明 內(nèi)容小結(jié) 1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系 羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 )()( afbf ?xxF ?)( )()( afbf ?xxF ?)(2. 微分中值定理的應(yīng)用 (1) 證明恒等式 (2) 證明不等式 (3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論 關(guān)鍵 :
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