【正文】 這個橢圓上點的最遠距離為 7 ，求此橢圓的方程及最遠點的坐標。 （ 1）求點 P的坐標。 22. 已知橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的離心率 32e? ，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為 4. （ 1） 求橢圓的方程； （ 2） 設直線 l 與橢圓相交于不同的兩點 A,B，已知點 A的坐標為 (a,0). (i) 若 425AB? ,求直線 l 的傾斜角； (ii) 若點 Q（ 0， 0y ）在線段 AB的垂直平分線上，且 4QA QB??,求 0y 的值。 （ 1） 求橢圓 C的離心率； （ 2） 如果 154AB?，求橢圓 C的方程。 27 13. 已知橢圓的兩個焦點分別為 12( 0 , 2 2 ), ( 0 , 2 2 )FF? ,離心率 223e?。 （ 1） 若 AOB? 得面積是 23 ，求直線 l 的方程； （ 2） 當 AOB? 的面積最大時，求直線 l 的方程。 22194xy??，點 A(2,0),過 A作直線交橢 圓與 P,Q兩點，弦 PQ中點為 M,弦 PQ繞點 A轉(zhuǎn)動，求動點 M的軌跡方程。 3. ABC? 的兩頂點 A(6,0),B(6,0)，邊 AC,BC所在直線的斜率之積等于 49? ，求頂點 C的軌跡方程。 （ⅱ）當 l 垂直于 x 軸時，由 )0,2(?? OBOA 知， C上不存在點 P使 OBOAOP ?? 成立。 （ I）求橢圓的標準方程； （ II）過點 1F 的直線 l 與該橢圓交于 ,MN兩點，且22 2 2 63F M F N??，求直線 l 的方程。 步驟： A(x1,y1) B(x2,y2)分別代入橢圓方程； ),( 00 yxp 為 AB 的中點。 故 的最小值為 10。 分析：注意到式中的數(shù)值“ ”恰為 ，則可由橢圓的第二定義知 等于橢圓上的點 P 到左準線的距離。其中 22 bac ?? 注意： ①在兩種標準方程中，總有 a＞ b＞ 0， 22 bac ?? 并且橢圓的焦點總在長軸上； ② 兩種標準方程可用一般形式表示： Ax2+By2=1 （ A＞ 0， B＞ 0， A≠ B），當 A＜ B時，橢圓的焦點在 x軸上，A＞ B 時焦點在 y 軸上。 ②平面內(nèi)一動點到一個定點和一定直線的距離的比是小于 1的正常數(shù)的點的軌跡，即點集 M={P| edPF?， 0＜ e＜ 1的常數(shù) ? 。2 c| y0 |= c| y0 |= 2 tan2b ?? (其中 P( 00,yx )為橢圓上一點， |PF1|＝ r1， |PF2|＝ r2， ∠F 1PF2＝ ? ) ： 把橢圓 12222 ??byax （ a＞ b＞ 0）的共焦點橢圓設為 22 222 1( )xy bab ???? ? ? ??? 8. 特 別 注 意 ： 橢圓方程中的 a,b,c,e 與坐標系無關 , 而焦點坐標 , 準線方程 , 頂點坐標 , 與坐 標系有關 .因此確定橢圓方程需要三個條件 :兩個定形條件 a,b,一個定位條件焦點坐標或準線方程 . ： 221 2 1 2211 1 1A B k x x y y kka ?? ? ? ? ? ? ? ? 1212bxxacxxa? ? ?????? ???（ a,b,c 為方程的系數(shù) 二 ．典型例題 考點 1 橢圓定義及標準方程 題型 1:橢圓定義的運用 例 1 .橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點 A、 B是它的焦點，長軸長為 2a，焦距為 2c，靜放在點 A的小球（小球的半徑不計），從點 A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點 A時，小球經(jīng)過的路程是 （ ） 3 A． 4a B． 2(a－ c) C． 2(a+c) D．以上答案均有可能 例 P 為為橢圓 )0(12222 ???? babyax 上一點， F F2是橢圓的兩個焦點，試求： 21 PFPF? 取得最值時的 P 點坐標。 5 三、 的最值 若 A為橢圓 C 外一定點， 為 C 的一條準線， P 為 C 上的一個動點， P 到 的距離為 d，求 的最小值。 題型 2“點差法”解題。 ：在 x， y 間的方程 F(x,y)=0 難以直接求 得時，往往用??? ?? )( )(tyy tfx(t 為參數(shù) )來反映 x， y 之間的關系。 0|2xxyx? ?.由題意有 000 2y xx ?又 2020yx?? 解得 : 220 1 , 2 , 1 ( ) 5bbxeaa? ? ? ? ? ?. 9．解：過點 B 作 BM l? 于 M,并設 右準線 l 與 X軸的交點為 N，易知 FN= 3FA FB? ,故 2||3BM?.又由橢圓的第二定義 ,得 2 2 2|| 2 3 3BF ? ? ? | | 2AF?? 10． [解析 ]:由 2223254cbaaceb?????? 812??ca ，∴橢圓的方程為： 180144 22 ??yx 或 180144 22 ??xy . 11． [解析 ]：設 A(x1， y1)， B(x2， y2)， ,54?e?由焦半徑公式有 a－ ex1+a－ ex2= a58， ∴ x1+x2= a21， 即 AB 中點橫坐標為 a41， 又左準線方程為 ax45??， ∴234541 ?? aa， 即 a=1， ∴ 橢圓方程為 x2+925y2=1． 12 abSabbaS 22s i n2s i nc o s4 m a x ????? ??? 奎屯王新敞 新疆 13解：設點 M的坐標為 ),( yx ，則點 P的坐標為 ),2( yx . ∵ P在圓 122 ??yx 上，∴ 1)2( 22 ?? yx ，即 141 22 ??yx . ∴點 M的軌跡是一個橢圓 14 22 ??yx 14 解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關關系式計算，第二問利用向量坐標關系及方程的思想，借助根與系數(shù)關系解決問題，注意特殊情況的處理。－ θ 由正弦定理得：)60s in(120s ins in 1221 ?? ????? PFPFFF 由等比定理得：)60s in(120s ins in 2121 ?? ???? ?? PFPFFF )60s in (234s in2?? ????? 整理得： )c o s1(3sin5 ?? ?? 53cos1 sin ??? ?? 故232tan ?? 11352531 532ta nta n 21 ????? ?PFF . 12．解（ 1） 224 293 223 223432 22 ???????? ccaacee ?? 又即 1,22,3 222 ??????? cabca )22,0(1 ?F? 對應準線方程為 22,249 ??? cy 且 ∴橢圓中心在原點，則橢圓方程為 19 22 ??xy （ 2）假設存在直線 l，且 l交橢圓所得的弦 MN 被直線 21??x 平分，∴ l的斜率存在，設 l:y=kx+m. PF 2F1 xOy 19 由 092)9(19 22222 ??????????????mk m xxkyxymkxy得消去 .∵直線 l交橢圓于不同兩點 M、 N. .090)9)(9(44 222222 ?????????? kmmkmk 即① 設 Mkkmk kmxxyxNyMx 2 ),(),( 22212211 ?????????? 代入①得 3,)2 9( 222 ??????? kkkkk 或解得. ∴存在滿足條件的直線 l1的傾斜角 )32,2()2,3( ????? ??注：第（ 1）小題還可利用橢圓的第二定義解決 13． (14 分 ) [解析 ]：（ 1）由題意，可設橢圓的方程為 )2(12222 ??? ayax.由已知得????? ?? ?? ).(2 ,2222 ccacca 解得 2,6 ?? ca ，所以橢圓的方程為 126 22 ??yx，離心率36?e. （ 2）解：由（ 1）可得 A（ 3， 0） .設直線 PQ的方程為 )3( ?? xky .由方程組?????????)3(,126 22xkyyx 得 062718)13( 2222 ????? kxkxk ，依題意 0)32(12 2 ???? k ，得3636 ??? k . 設 ),(),( 2211 yxQyxP ，則13182 221 ??? k kxx， ①13 627 2221 ??? kkxx . ②，由直線 PQ的方程得 )3(),3( 2211 ???? xkyxky .于是 ]9)(3[)3)(3( 2121221221 ??????? xxxxkxxkyy . ③ ∵ 0??OQOP ，∴ 02121 ?? yyxx . ④，由①②③④得 15 2?k ，從而 )36,36(55 ????k. 所以直線 PQ的方程為 035 ??? yx 或 035 ??? yx . （ 2）證明： ),3(),3( 2211 yxAQyxAP ???? .由已知得方程組 ?????????????????.126,126,),3(3222221212121yxyxyyxx??注意 1?? ，解得??2 152 ??x，因 ),(),0,2( 11 yxMF ?，故 ),1)3((),2( 1211 yxyxFM ??????? ? ),2 1(),21( 21 yy ???? ?????? . 而 ),2 1(),2(222 yyxFQ ?? ????，所以 FQFM ??