【正文】 古呼和浩特 ,23,7分 )已知關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)有兩個實數(shù)根 x1, x2,請你用配方法探索有實數(shù)根的條件 ,并推導(dǎo)出求根公式 ,證明 x1 (2)寫出一個滿足條件的 m的值 ,并求此時方程的根 . 解析 (1)依題意 ,得 Δ=(2m+1)24(m21)=4m+50, 解得 m? . (2)答案不唯一 .如 :m=1. 此時方程為 x2+3x=0. 解得 x1=3,x2=0. 54考點一 一元一次方程 C組 教師專用題組 1.(2022湖北武漢 ,9,3分 )將正整數(shù) 1至 2 018按一定規(guī)律排列如下表 : 平移表中帶陰影的方框 ,方框中三個數(shù)的和可能是 ? ( ) 019 018 016 013 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 …… 答案 D 設(shè)方框中間的數(shù)為 x,則另外兩個數(shù)分別為 x x+1,這三個數(shù)之和為 (x1)+x+(x+1)= 3x. 四個選項中 ,2 018不是 3的倍數(shù) ,舍去 。 C項 ,Δ=(2)2411=0。(2)Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根 。1=3,即 x1=3,則 m=1+3,解得 m=4. 評析 本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 ,屬容易題 . 18.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,15,3分 )已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2+? x1=0有兩個不相等的實數(shù)根 , 則 k的取值范圍是 . 1k?答案 k≥ 1 解析 由題意知 Δ=(? )241(1)=k1+4=k+30,∴ k ∵ k1≥ 0,即 k≥ 1,∴ k≥ 1. 1k?19.(2022四川綿陽 ,17,3分 )關(guān)于 m的一元二次方程 ? nm2n2m2=0的一個根為 2,則 n2+n2= . 7答案 26 解析 把 m=2代入原方程得 ,4? n2n22=0,顯然 n≠ 0, ∴ ? =4? 2n? =0,∴ n+? =2? , ∴ ? =n2+? +2=28,∴ n2+? =26,即 n2+n2=26. 724 7 2 2nnn??7 2n 1n 721nn???????21n 21n20.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,15,3分 )已知 m,n是方程 x2+2x5=0的兩個實數(shù)根 ,則 m2mn+3m+n= . 答案 8 解析 由于 m,n是方程 x2+2x5=0的兩個實數(shù)根 ,故 m2+2m=5,m+n=2,mn=5,所以 m2mn+3m+n=m2 +2m+m+nmn=52+5=8. 21.(2022甘肅蘭州 ,19,4分 )如圖 ,在一塊長為 22米 ,寬為 17米的矩形地面上 ,要修建同樣寬的兩條 互相垂直的道路 (兩條道路分別與矩形的一條邊平行 ),剩余部分種上草坪 ,使草坪面積為 300平 方米 .設(shè)道路寬為 x米 ,根據(jù)題意可列出的方程為 . ? 答案 (22x)(17x)=300(或 x239x+74=0,只要方程合理正確均可得分 ) 解析 根據(jù)題意可列方程為 (22x)(17x)=300. 評析 本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程 ,把中間修建的兩條道路分別平移到 矩形地面的最上邊和最左邊是解答本題的關(guān)鍵 ,屬容易題 . 22.(2022四川成都 ,16,6分 )若關(guān)于 x的一元二次方程 x2(2a+1)x+a2=0有兩個不相等的實數(shù)根 ,求 a 的取值范圍 . 解析 由題意可知 Δ=(2a+1)24a2=4a2+4a+14a2=4a+1. ∵ 原方程有兩個不相等的實數(shù)根 ,∴ 4a+10,∴ a? . 1423.(2022遼寧沈陽 ,21,8分 )某公司今年 1月份的生產(chǎn)成本是 400萬元 ,由于改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù) ,生產(chǎn)成 本逐月下降 ,3月份的生產(chǎn)成本是 361萬元 .假設(shè)該公司 4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都 相同 . (1)求每個月生產(chǎn)成本的下降率 。 (2)若方程有一個根為 x=1,求 m的值及另一個根 . 解析 (1)∵ 關(guān)于 x的一元二次方程 x2+2x(m2)=0有實數(shù)根 ,∴ Δ=2241[(m2)]≥ 0, 解得 m≥ 1. (2)將 x=1代入原方程 ,得 1+2(m2)=0,所以 m=5, 所以原方程為 x2+2x3=0,解得 x1=1,x2=3. 所以方程的另一個根為 x=3. 6.(2022鄭州二模 ,19)已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2+2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根 . (1)求 k的取值范圍 。(2)將 x=1 代入原方程 ,求得 m的值 ,再將 m的值代入原方程 ,求出方程的另一個根 . 易錯警示 易漏掉原方程二次項系數(shù) m+2≠ 0這個條件 ,產(chǎn)生錯誤而失分 . 。 (2)若方程的兩個根都為整數(shù) ,求整數(shù) k的值 ,并求出方程的根 . 2k解析 (1)證明 :由題意知 ,Δ=(1)24k? =1+8=90. ∴ 方程總有兩個不相等的實數(shù)根 . (2)由求根公式得 x=? , ∴ x1=? ,x2=? , 又 ∵ 方程的兩個根都為整數(shù) ,且 k也為整數(shù) , ∴ k的值為 1或 1, 當(dāng) k=1時 ,x1=2,x2=1。4月份的 生產(chǎn)成本 =3月份的生產(chǎn)成本 (1x). 24.(2022重慶 ,23,10分 )近期豬肉價格不斷走高 ,引起了民眾與政府的高度關(guān)注 .當(dāng)市場豬肉的 平均價格達(dá)到一定的單價時 ,政府將投入儲備豬肉以平抑豬肉價格 . (1)從今年年初至 5月 20日 ,豬肉價格不斷走高 ,5月 20日比年初價格上漲了 60%.某市民在今年 5 月 20日購買 100元錢 ,那么今年年初豬肉的最低價格為每千克多少元 ? (2)5月 20日豬肉價格為每千克 40元 .5月 21日 ,某市決定投入儲備豬肉 ,并規(guī)定其銷售價在 5月 20 日每千克 40元的基礎(chǔ)上下調(diào) a%出售 .某超市按規(guī)定價出售一批儲備豬肉 ,該超市在非儲備豬 肉的價格仍為每千克 40元的情況下 ,該天的兩種豬肉總銷量比 5月 20日增加了 a%,且儲備豬肉 的銷量占總銷量的 ? ,兩種豬肉銷售的總金額比 5月 20日提高了 ? a%,求 a的值 . 34 110解析 (1)設(shè)今年年初的豬肉價格為每千克 x元 . 根據(jù)題意 ,得 (1+60%)x≥ 100.? (3分 ) 解這個不等式 ,得 x≥ 25. ∴ 今年年初豬肉的最低價格為每千克 25元 .? (4分 ) (2)設(shè) 5月 20日該超市豬肉的銷售量為 1,根據(jù)題意 ,得 40? (1+a%)+40(1a%)? (1+a%)=40? . 令 a%=y, 原方程可化為 40? (1+y)+40(1y)? (1+y) =40? .? (7分 ) 整理這個方程 ,得 5y2y=0. 解這個方程 ,得 y1=0,y2=. ∴ a1=0(不合題意 ,舍去 ),a2=20.? (9分 ) ∴ a的值是 20.? (10分 ) 14 3411%10 a???????14 3411 10y???????25.(2022福建福州 ,20,8分 )已知關(guān)于 x的方程 x2+(2m1)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根 ,求 m的值 . 解析 ∵ 關(guān)于 x的方程 x2+(2m1)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根 ,∴ Δ=(2m1)2414=0. ∴ 2m1=177。m=14m≥ 0,解得 m≤ ? .故選 D. 1411.(2022安徽 ,6,4分 )我省 2022年的快遞業(yè)務(wù)量為 ,受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改 善等多重因素 ,快遞業(yè)迅猛發(fā)展 ,2022年增速位居全國第一 .若 2022年的快遞業(yè)務(wù)量達(dá)到 件 ,設(shè) 2022年與 2022年這兩年的年平均增長率為 x,則下列方程正確的是 ? ( ) (1+x)= (1+2x)= (1+x)2= (1+x)+(1+x)2= 答案 C 2022年的業(yè)務(wù)量為 ,則 2022年的業(yè)務(wù)量為 (1+x)億件 ,2022年的業(yè)務(wù)量為 (1+x)2億件 ,故選 C. 12.(2022寧夏 ,7,3分 )如圖 ,某小區(qū)有一塊長為 18 m,寬為 6 m的矩形空地 ,計劃在其中修建兩塊相 同的矩形綠地 ,它們的面積之和為 60 m2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道 .若設(shè) 人行通道的寬度為 x m,則可以列出關(guān)于 x的方程