二階非齊次線性微分方程的解法(完整版)
【正文】 此，當(dāng)時(shí)，常數(shù)變易公式變?yōu)? 而通解就是 法二設(shè)是方程的基本解組，當(dāng)滿足以下條件時(shí)，是方程的通解，滿足條件的，則為二階非齊次線性微分方程的通解例 試求方程的一個(gè)解解 易知對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的基本解組為我們直接利用公式來(lái)求方程的一個(gè)的一個(gè)解。例求方程的通解解 這里，因故令就可把原方程化為常系數(shù)方程可求得其通解為代回原變量，則得原來(lái)方程的通解為（二）降階的方法 處理一般高階微分方程的基本原則是降階，即利用適當(dāng)?shù)淖儞Q把高階方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較低階方程的求解問(wèn)題。事實(shí)上，因?yàn)榇敕匠蹋瑒t原方程變?yōu)榉匠坛Ｏ禂?shù)二階線性微分方程，由 上可求得方程的通解。這樣一來(lái)，對(duì)應(yīng)于特征方程的一對(duì)共軛復(fù)根，我們可求得方程的兩個(gè)實(shí)值解（2） 特征根有重跟的情形若特征方程的重零根，對(duì)應(yīng)于方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。解 特征方程的根為有兩個(gè)實(shí)根，均是單根，故方程的通解為這里是任意常數(shù)。這里是待定函數(shù)。這時(shí)取是對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的一個(gè)解，所以函數(shù)也是原方程的一個(gè)解。因此，當(dāng)不變式為常數(shù)時(shí)，方程可經(jīng)變換化為常系數(shù)線性齊次方程。根據(jù)方程本身的特點(diǎn)，我們選取自變量的變換，并取，即變換 就可以達(dá)到上述目的（這里設(shè)，當(dāng)時(shí)，取，以后為確定起見(jiàn)，認(rèn)為）。設(shè)是一特征根，則也是特征根，因而與這對(duì)共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)，方程有兩個(gè)復(fù)值解它們的實(shí)部和虛部也是方程的解。例2 求解方程 的通解。為此，把代入方程，可得到欲使為常系數(shù)線性齊次方程，必須選取使得及的系數(shù)均為常數(shù)。 218頁(yè)13題165頁(yè)6題參考文獻(xiàn)
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