二階非齊次線性微分方程的解法-免費(fèi)閱讀
【正文】 具體參考常微分方程的思想與方法，這里只討論二階的。再變換，代回原來的變量，就得到原方程的通解。若這個重零根設(shè)特征根為其重數(shù)為。方程的解為對于特征方程有復(fù)重根的情況，譬如假設(shè)是重特征根，則也是重特征根，可以得到方程的個實(shí)值解例1 求方程的通解。例 求方程的通解解 此方程為歐拉方程，令，則由知，原方程化為 其特征方程為特征根為，故方程的通解為換回原自變量，則原方程的通解為2. 在未知函數(shù)的線性齊次變換下，可化為常系數(shù)的方程現(xiàn)在考慮二階變異系數(shù)線性方程 的系數(shù)函數(shù)滿足什么條件時，可經(jīng)適當(dāng)?shù)木€性齊次變換化為常系數(shù)方程。已知的一個特解，試求該方程的通解解 作變換，則原方程可化為一階線性微分方程求解，得所以原方程的通解為法二 設(shè)是方程的任一解，則有劉維爾公式得其中常數(shù)，亦即以積分因子乘上式兩端，就可推出積分上式可得到例 求方程的通解解 由觀察知方程有一特解，令則，代入方程，得再令，得一階線性齊次方程從而可得取便得原方程的另一解顯然，解線性無關(guān)，故方程的通解為冪級數(shù)法考慮二階線性微分方程及初值及的情況可設(shè)一般性，可設(shè)，否則，我們引進(jìn)新變量，經(jīng)此變換，方程的形式不變，. 定理 若方程中的系數(shù)和都能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為,則方程有形如的特解，也以為級數(shù)的收斂區(qū)間.定理 若方程中的系數(shù)和都能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為,則方程有形如的特解，也以為級數(shù)的收斂區(qū)間.定理 若方程中的系數(shù)和具有這樣的性質(zhì)
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