二階非齊次線性微分方程的解法(存儲(chǔ)版)
【正文】 ，即和都能展成的冪級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為,若，則方程有形如的特解，.例 求方程的滿足初值條件及的解解 設(shè) ，可以得到因而將的表達(dá)式代入原方程，合并的同次冪的項(xiàng)，并令各項(xiàng)系數(shù)等于零，得到因而最后得對(duì)一切正整數(shù)成立.將的值代回就得到、這就是方程滿足所給初值條件的解.例用冪級(jí)數(shù)解法求解方程解 因?yàn)椋帽容^的同次冪的系數(shù)，得解得 所以，原方程的通解為即方程組的消元法 在某些情形下，類似于代數(shù)方程組的消元，我們可以把多個(gè)未知函數(shù)的線性方程組化為某一個(gè)未知函數(shù)的高階微分方程來求解例 求解線性微分方程組解 從第一個(gè)方程可得 把它代入第二個(gè)方程，就得到關(guān)于的二階方程式不難求出它的一個(gè)基本解組為把和分別代入式，得出的兩個(gè)相應(yīng)的解為由此得到原來微分方程組的通解為其中和為任意常數(shù)二階非齊次線性微分方程待定系數(shù)法常用于解決常系數(shù)非齊次線性微分方程類型一 的特解，其中為特征方程的根的重?cái)?shù)(單根相當(dāng)于；當(dāng)不是特征根時(shí)，取),而.類型二 的特解，其中為特征方程的根的重?cái)?shù)，而均為待定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于的的多項(xiàng)式，.求方程的通解解 先求對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程.因此，通解為，故可取特解形如,B,將代入原方程，得到，比較系數(shù)得由此得從而因此，原方程的通解為求方程的 通解.解 特征方程有重根，因此，對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為
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