【正文】 AB 的高度，在一幢與塔 AB 相距 20m 的樓的樓頂處測得塔頂 A 的仰角為 30? ，測得塔基 B 的俯角為 45? ，則塔 AB 的高度為多少 m？ 答案： 20+3320(m) ●板書設(shè)計 ●授后記 課題 : 167。 分析：求 AB 長的關(guān)鍵是先求 AE，在 ? ACE 中，如能求出 C 點(diǎn)到建筑物頂部 A 的距離 CA，再測出由 C 點(diǎn)觀察 A 的仰角，就可以計算出 AE 的長。 變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距 40 米的 C、 D 兩點(diǎn)，測得 ? BCA=60? ， ? ACD=30? ， ? CDB=45? ，? BDA =60? 略解：將題中各 已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=20 6 評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。 求 A、 B兩點(diǎn)的距離 (精確到 ) 第 11 頁 共 58 頁 啟發(fā)提問 1： ? ABC 中，根據(jù)已 知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個定理比較適當(dāng)？ 啟發(fā)提問 2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。 ●板書設(shè)計 ●授后記 第 10 頁 共 58 頁 課題 : 167。 分析：由余弦定理可知 2 2 22 2 22 2 2是 直 角 ABC 是 直 角 三 角 形是 鈍 角 ABC 是 鈍 角 三 角 形是 銳 角a b c Aa b c Aa b c A? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ABC 是 銳 角 三 角 形? （注意： 是 銳 角A ? ABC 是 銳 角 三 角 形? ） 解： 2 2 27 5 3??，即 2 2 2a b c??， ∴ ABC 是 鈍 角 三 角 形? 。下面進(jìn)一步來研究這種情形下解三角形的問題。 ●板書設(shè)計 ●授后記 第 7 頁 共 58 頁 課題 : 167。 由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 Ⅲ .課堂練習(xí) 第 5 頁練習(xí)第 1（ 1） 、 2（ 1）題。如圖 1． 12，在 Rt? ABC 中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 sina Ac? ， sinb Bc? ，又 sin 1 cC c?? , A 則 sin sin sina b c cA B C? ? ? b c 從而在 直角三角形 ABC 中， sin sin sina b cA B C?? C a B (圖 1． 12) 思考：那么對于任意的 三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ （由學(xué)生討論 、分析） 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如圖 1． 13，當(dāng) ? ABC 是銳角三角形時，設(shè)邊 AB 上的高是 CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有 CD= sin sina B b A? ,則 sin sinabAB? ， C 同理可得 sin sincbCB? ， b a 從而 sin sinabAB? sincC? A c B 第 2 頁 共 58 頁 (圖 1． 13) 思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 1． 1． 1 正弦定理 授課類型： 新授課 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： 通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用 正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。 ●教學(xué)過程 Ⅰ .課題導(dǎo)入 如圖 1． 11，固定 ? ABC 的邊 CB 及 ? B，使邊 AC 繞著頂點(diǎn) C轉(zhuǎn)動。 解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， 0180 ( )? ? ?C A B 0 0 0180 ( )? ? ? ? ； 根據(jù)正弦定理， 第 3 頁 共 58 頁 00s in 4 2 . 9s in 8 1 . 8 8 0 . 1 ( )s in s in 3 2 . 0? ? ?aBb c mA； 根據(jù)正弦定理， 00s in 4 2 . 9s in 6 6 . 2 7 4 . 1 ( ) .s in s in 3 2 . 0? ? ?aCc c mA 評述：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器。 過程與方法： 利用向量的數(shù)量積推出 余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題 情感態(tài)度與價值觀： 培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù) 、 余弦定理 、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與 辯證統(tǒng)一。 例 2．在 ? ABC 中，已知 ?a cm ， ?b cm ， ?c cm ，解三角形 （見課本第 8 頁例 4，可由學(xué)生通過閱讀進(jìn)行理解） 解：由余弦定理的推論得： cos 2 2 22???b c aA bc 2 2 28 7 .8 1 6 1 .7 1 3 4 .62 8 7 .8 1 6 1 .7??? ?? ,? 05620??A ； cos 2 2 22???c a bB ca 2 2 21 3 4 .6 1 6 1 .7 8 7 .82 1 3 4 .6 1 6 1 .7??? ?? ,? 03253??B ； 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 56 20 32 53 )??? ? ? ? ? ?C A B Ⅲ .課堂練習(xí) 第 8 頁練習(xí)第 1（ 1） 、 2（ 1）題。 ●教學(xué)難點(diǎn) 正 、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的 綜合運(yùn)用。 （ 2）在 ? ABC 中，若 1a? ， 12c? ， 040C?? ，則符合題意的 b 的值有 _____個。 （ 2）設(shè) x、 x+ x+2 是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù) x 的 取值范圍。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。 首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定 C、 D 兩點(diǎn)。通過 3 道例題的安排和練習(xí)的訓(xùn)練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。 解 :在 ? ABC 中 , ? BCA=90? +? ,? ABC =90? ? ,? BAC=? ? ,? BAD =? .根據(jù)正弦定理 , )sin( ???BC = )90sin( ???AB 所以 AB =)sin( )90sin( ?? ?? ??BC=)sin(cos?? ??BC 解 Rt? ABD 中 ,得 BD =ABsin? BAD=)sin( sincos ?? ???BC 將測量數(shù)據(jù)代入上式 ,得 BD = )1500454sin( ??? ?? ?? ?? 第 15 頁 共 58 頁 =934sin ? ??? ?? ≈ 177 (m) CD =BD BC≈ =150(m) 答 :山的高度約為 150 米 . 師：有沒有別的解法呢？ 生：若在 ? ACD 中求 CD，可先求出 AC。 ●教學(xué)重點(diǎn) 能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系 ●教學(xué)難點(diǎn) 靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題 ●教學(xué)過程 Ⅰ .課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境 ] 提問：前面我們學(xué)習(xí)了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。 解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿 AB 方向經(jīng)過 x 小時后在 B 處追上走私船，則 CB=10x, AB=14x,AC=9, ? ACB= ?75 + ?45 = ?120 ?(14x) 2 = 92 + (10x) 2 2? 9? 10xcos ?120 ?化簡得 32x2 30x27=0，即 x=23 ,或 x=169 (舍去 ) 所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因為 sin? BAC =ABBC ?120sin=2115 ? 23=1435 ?? BAC =38 31?? ,或 ? BAC =141 74?? （鈍角不合題意，舍去）， ?38 31?? + ?45 =83 31?? 答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東 83 31?? 方向去追，經(jīng)過 小時才追趕上該走私船 . 評注： 在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個 解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅲ .課堂練習(xí) 課本第 18 頁練習(xí) Ⅳ .課時小結(jié) 解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：（ 1） 已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。 （ 2） 已知 B=? ,C=? ,b=。a=12,S=18 3 變式練習(xí) 2：判斷滿足下列條件的三角形形狀， （ 1） acosA = bcosB （ 2） sinC =BA BA coscos sinsin ?? 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊” （ 1） 師：大家 嘗試分別用兩個定理進(jìn)行證明。 【教學(xué)難點(diǎn)】 用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系。據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高 元，銷售量就可能相應(yīng)減少 2020 本。0。nn nna b n N n a b a b? ? ? ? ? ? ?。 一元二次不等式及其解法 第 1 課時 授課類型： 新授課 【教學(xué)目標(biāo)】 1．知識與技能：理解一元二次方程、一 元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，掌握圖象法解一元二次不等式的方法；培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)分類討論的思想方法，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力； 2．過程與方法：經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的解法； 3．情態(tài)與價值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。 3．隨堂練習(xí) 1 第 33 頁 共 58 頁 課本第 89 頁練習(xí) 2 [補(bǔ)充例題 ] ▲ 應(yīng)用一（一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系） 例：設(shè)不等式 2 10ax bx? ? ? 的解集為 13{ | 1 }xx? ? ? ，求 ab? ▲ 應(yīng)用二（一元二次不 等式與二次函數(shù)的關(guān)系） 例：設(shè) 22{ | 4 3 0 }, { | 2 8 0 }A x x x B x x x a? ? ? ? ? ? ? ? ?，且 AB? ，求 a 的取值范圍 . 改： 設(shè) 2 2 8 0x x a? ? ? ?對于一切 (1,3)x? 都成立，求 a 的范圍 . 改： 若方程 2 2 8 0x x a?。 【教學(xué)難點(diǎn)】 理解二次函數(shù)、一元二次方程 與一元二次不等式解集的關(guān)系。 證明：以為 0ab?? ，所以 ab0, 1 0ab?。 課本 P82 的練習(xí) 2 用不等式（組）表示實際問題的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題。按照生產(chǎn)的要求，600mm 的數(shù)量不能超過 500mm 鋼管的 3 倍。如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，等等。第二位同學(xué)遺漏了 另一種情況，因為 sin2A=sin2B,有可能推出 2A與 2B 兩個角互補(bǔ)，即 2A+2B=180? ， A+B=90? (2)（解略）直角三角形 Ⅲ .課堂練習(xí) 課本第 21 頁練習(xí)第 2 題 Ⅳ .課時小結(jié) 利用正弦定理或余弦定理將 已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。 解：（ 1）應(yīng)用 S=21acsinB，得 S=21 ?? ? ? ≈ (cm2 ) (2)根據(jù)正弦定理， Bbsin = Ccsin c = BCbsinsin S = 21bcsinA = 21