彈性力學(xué)平面問題(9-10)(完整版)
【正文】 式（ a）不是一組可能的應(yīng)力場。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。 滿足： 的函數(shù) 稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。 注意事項： (1) 必須滿足靜力等效條件； (2) 只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。 由式（ 226）看：不管 φ(x,y)是什么函數(shù)，都能滿足平衡方程。 ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS 1. 兩類平面問題： 平面應(yīng)力問題；平面應(yīng)變問題。 6. 任意斜面上線應(yīng)變、變形后兩線段夾角改變量的計算。 （幾何特點、受力特點、應(yīng)力或應(yīng)變特點） 3. 平面問題的求解 （ 1） 按位移求解平面問題 （ 2） 按應(yīng)力求解平面問題 基本方程： （ 1）用位移表示的平衡微分方程； （ 2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件； （ 3）邊界條件：應(yīng)力、位移邊界條件。 相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示 將式（ 226）代入常體力下的相容方程： (225) 有： 注意到體力 fx、 fy 為常量，有 將上式展開，有 (227) —— 應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程 給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。 （ 2） ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS 常體力下問題的基本方程： 邊界條件、位移單值條件。 原問題： 體力： 邊界面力： 所求應(yīng)力： A B C F D E h h (b) ph 2ph 變換后的問題： 體力： 邊界面力： (1) 當(dāng) y = 0 時， (2) 當(dāng) y = –h 時， (3) 當(dāng) y = –2h 時， 所求得的應(yīng)力： 原問題的應(yīng)力 常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點（好處）： 原問題的求解方程 變換后問題的求解方程 常體力問題 無體力問題 作用： (1) 方便分析計算（齊次方程易求解）。 y方向力等效： 對 O點的力矩等效： x方向力等效： y?yx?注意： 必須按正向假設(shè)！ ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS 常體力下平面問題的相容方程 令： —— 拉普拉斯（ Laplace）算子 則相容方程可表示為： —— 平面應(yīng)力情形 —— 平面應(yīng)變情形 當(dāng)體力 X、 Y 為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即 或 （ 225） 常體力下平面問題的基本方程 （ 1）平衡方程 （ 22） （ 2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程） （ 3）邊界條件 （ 218） （ 4）位移單值條件 —— 對多連通問題而言。 （ 1） （ 2） （ a） （ b） （ 2） 解 將式（ b）代入應(yīng)變表示的相容方程： 式（ b）滿足相容方程， ∴ （ b）為可能的應(yīng)變分量。 例： 其中： C為常數(shù)。 注意： 必須按正向假設(shè)！ 由微元體的平衡求得， ZS《 Rock Mass Mechanics》 6 2022/2/14 ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS ZS《 Rock Mass Mechanics》 平面問題的基本方程 1. 平衡微分方程 （ 22） 2. 幾何方程 （ 29） 3. 物理方程 （平面應(yīng)力問題） （ 215） 4. 邊界條件 位移： （ 217）
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