【正文】 （ 2022 年浙江杭州七模） 下列命題： ① 同位角相等； ② 如果 00 9045 ??? ，那么??? cossin ； ③ 若關(guān)于 x 的方程 223 ???x mx 的解是負數(shù)，則 m 的取值范圍為 m4； ④ 相等的圓周角所對的弧相等．其中 假命題 ． ． ． 有（ ） A． 1 個 B． 2 個 C． 3 個 D． 4 個 答案： C 二、填空題 1. （ 2022 年北京四中中考全真模擬 15） 從甲站到乙站有兩種走法。 當 t=21 時， OQ=23 ,同理可求 Q( 433,43 ). 設(shè)直線 PQ 的解析式為 y=kx+b,則??????????33443343bbk， ∴??????????334397bk ∴ 直線 PQ 的解析式為 3 349 37 ??? xy ；（ 4 分） (4)當 a=1 時， △ ODQ∽ △ OBA,當 1a3 時，以 O、 Q、 D 為頂點的三角形與 △ OAB 不能相似，當 a=3 時， △ ODQ∽△ OAB 理由如下：（ 1 分） ① 若 △ ODQ∽△ OBA，可得 ∠ ODQ=∠ OBA,此時 PQ//AB, 故四邊形 PCOQ 為平行四邊形 ,∴ CP=OQ. 即 at=t (0t? 8), ∴ a=1,故當 a=1 時， △ ODQ∽△ OBA，（ 1 分） ② 若 △ ODQ∽△ OAB. （ Ⅰ ）如果 P 點不與 B 點重合，此時必有 △ PBD∽△ QOD. ∴ODBDOQPB?,∴ODOBOQOQPB ??,即 ODat att 388 ??? ,∴ OD= att at??8 38 . ∵△ ODQ∽△ OAB， ∴ OBOQOAOD? ,即388838 atattat??? . ∴ ta 161?? ， ∵ 80 ??t ， ∴ 此時 3?a ，不符合題意 . ∴ 即 31 ??a 時，以 O、 Q、 D 為頂點的三角形與 △ OAB 不能相似； （ 1 分） (Ⅱ )當 P 與 B 重合時，此時 D 點也與 B 點重合 . 可知此時， t=8,由 △ ODQ∽△ OAB 得 OBOQOAOD? ,∴ OB2=OA? AD= ，即 PA+PC 的最小值為 ………6 分 （ 3）解：分別作點 P 關(guān)于 OA， OB 的對稱點 E， F，連接 EF 交 OA， OB 于 R， Q， 則 △ PRQ 的周長為： EF A B A?′ P l O A B P R Q 圖 3 O A B C 圖 2 A B E C P D 圖 1 （第 23 題） P 6 ∵ OP=OE=OF=10, ∠ FOB=∠ POB,∠ POA=∠ AOE, …… 8 分 ∵∠ AOB=45176。 求直線 AC 的解析式； 設(shè) △ PQC 的面積為 S，求 S 關(guān)于 t 的函數(shù)解析式； 在 y 軸上找一點 M，使 △ MAC 和 △ MBC 都是等腰三角形。 2. （ 2022 年北京四中中考全真模擬 15）在 “倉庫世家 ”游戲中，游戲規(guī)則為 “只要將所有木箱歸位，便可過關(guān)， 可以左右上下轉(zhuǎn)身， 推動木箱只可前進，無法后拉，按 8，2， 4， 6 可上下左右移動。 （ 1）汽車行駛了多少時間后受到臺風(fēng)的影響？ （ 2）汽車受到臺風(fēng)影響的時間有多少？ 答案：解：（ 1）設(shè)經(jīng)過 t 小時后汽車受到了臺風(fēng)的影響， 此時汽車行駛到了點 B，臺風(fēng)中心移到點 C， 則 OB=40t,AC=20 2 t， 作 CP⊥ OB 于點 P， CQ⊥ OA 于點 Q， 則 AQ=20t,CQ=20t, 所以 BP=OBOP=OBCQ=20t,CP=OQ=OAAQ=16020t, 由 BP2+CP2=BC2，得（ 20t） 2+(16020t)2=1202, 化簡得 t28t+14=0,解得 t1=4 2 ,t2=4+ 2 , 所以 ， 經(jīng)過 4 2 小時后 ， 汽車受到臺風(fēng)影響。 ∵ 在 Rt△ BDC 中 ,E 是 BC 邊上的中點 ∴ DE=BE∴∠ EBD＝ ∠ BDE ∵ OB=OD∴∠ OBD=∠ ODB 又 ∵∠ ABC＝ ∠ OBD+∠ EBD＝ 90176。 ………… 1 分 ????? 18 （ 2022 年浙江杭州三模） 如圖， P 為正方形 ABCD 的對稱中心，正方形 ABCD 的邊長為 10 , tan 3ABO??。 A． 94 ?? B． 984 ?? C． 948 ?? D． 988 ?? 答案： B 二 、 填空題 1． （ 2022 年 三門峽實驗中學(xué) 3 月模擬 ）兩圓的圓心距 5d? ，它們的半徑分別是一元二次方程 2 5 4 0xx? ? ? 的兩個根，這兩圓的位置關(guān)系是 . 答案：外切 2.（ 2022 浙江杭州育才初中模擬 ）如圖，蹺蹺板 AB 長為 5 米的 ， 0 為支點，當 AO=3 米時，坐在 A 端的人可以將 B 端的人蹺高 1 米．那么當支點 0 在 AB 的中點時， A 端的人下（第 5 題③） PAEFD CB 23 A B C D E O 第 2 題 降同樣的高度可以將 B 端的人蹺高 __________米． ( 09?宜賓第 15 題改編 ) 答案： 3．（ 2022 浙江杭州育才初中模擬 ）我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為 “蛋圓 ”，如果一條直線與 “蛋圓 ”只有一個交點，那么這條直線叫做 “蛋圓 ”的切線。 4． （ 2022 年 三門峽實驗中學(xué) 3 月模擬 ）如圖，將正方形 ABCD 中的 △ ABD 繞對稱中心 O 旋轉(zhuǎn)至 △ GEF 的位 置， EF 交 AB 于 M， GF 交 BD 于 N．請猜想 BM 與 FN 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 答案： BM=FN 證明：在正方形 ABCD 中， BD 為對角線， O 為對稱中心 , ∴ BO=DO ,∠ BDA=∠ DBA=45176。 ………………………… (9 分 ) 取 PQ中點為 N．連結(jié) MN．則 MN＝ 12 PQ= 1()2 QR PS? ． …………………… (10 分 ) ∴ MN為直角梯形 SRQP的中位線 , ∴ 點 M為 SR的中點 …………………… (11 分 ) 當 △ PSM∽△ QRM時， RM QR QBMS PS BP?? 又 RM ROMS OS? ，即 M點與 O點重合。 E 是 AB 的中點， AE=BE,∠ FAB=∠ EBC=60176。 AB xyO DPEC 38 答案： 解 ：（ 1） AP= 22x （ 2 分） （ 2） PC=BE （ 1 分） 0≤x＜ 10 時 PC=ACAP= 252 2 x? BE= 22 BD= 22 (10x)= 52 （ 4 分） （ 3）當 0＜ x＜ 10 時， 215 2542y x x? ? ? ? （ 3 分） 當 10＜ x＜ 20 時， 52yx? （ 2 分） 于是 A B C D E F G? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B C E F AQ G? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 540B C E F BQ F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?176。 ∴ 2 2 2( ) ( )S R b c b c? ? ? ? ∴ 2SR bc? 。 綜上所述，當點 M 為 SR 的中點時． ? PSM∽ ? MRQ；當點 M 為原點時，? PSM∽ ? MRQ． ………………………… (13 分 ) 方法二： 若以 P、 S、 M 為頂點的三角形與以 Q、 M、 R 為頂點的三角形相似， ∵ 90PS M MRQ? ? ? ? ?， ∴ 有 ? PSM∽ ? MRQ 和 ? PSM∽△ QRM 兩種情況。 ∴ 90PMQ? ? ? 。 若使 △ PSM∽△ MRQ， 則有 2b bc xxc?? 。 設(shè)拋物線的解析式為 2y ax bx c? ? ? ． 其過三點 A(0， 1)， C(2． 2)， F(2， 2)。OA=OB=10，分別以邊 OA、 OB 所在的直線為坐標軸建立平面直角坐標系，點 P 自點 A 出發(fā)沿線段 AB 勻速運動至點 B 停止。 綜上所述，當點 M為 SR的中點時， ? PSM∽△ MRQ； M 30 當點 M為原點時， ? PSM∽△ QRM …………(12 分 ) 6．（ 2022 安徽中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點 A、 B 分別在 x 軸、 y 軸上，線段 OA、 OB 的長 (0AOB) 是方程 x218x+72=0 的兩個根，點 C 是線段 AB 的中點，點 D 在線段 OC 上， OD=2CD． (1)求點 C 的坐標； (2)求直線 AD 的解析式； (3)P 是直線 AD 上的點，在平面內(nèi)是否存在點 Q，使以 O、 A、 P、 Q 為頂點的四邊形是菱形 ?若存在，請直接寫出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由． 【解】 答案： （ [解 ] (1)OA=6， OB=12 點 C 是線段 AB 的中點， OC=AC 作 CE⊥ x 軸于點 E． ∴ OE=12OA=3， CE=12OB=6． ∴ 點 C 的坐標為 (3， 6) (2)作 DF⊥ x 軸于點 F △ OFD∽△ OEC， ODOC=23，于是可求得 OF=2， DF=4． ∴ 點 D 的坐標為 (2， 4) 設(shè)直線 AD 的解析式為 y=kx+b． 把 A(6， 0)， D(2， 4)代人得 6024kbkb???? ??? 31 解得 16kb???? ?? ∴ 直線 AD 的解析式為 y=x+6 (3)存在． Q1(3 2， 3 2) Q2(3 2， 3 2) Q3(3， 3) Q4(6， 6) 7．（ 2022 北京四中一模）（本題 9 分） 如圖，在 △ ABC 中，以 AB 為直徑的 ⊙ O 交 BC 于點 D，連結(jié) AD，請你添加一個條件 ， 使 △ ABD≌△ ACD，并說明全等的理由． 你添加的條件是 證明： 答案： 本題答案不唯一，添加的條件可以是 ① AB＝ AC， ②∠ B＝ ∠ C， ③ BD＝ DC（或 D 是 BC 中點）， ④∠ BAD＝ ∠ CAD（或 AD 平分 ∠ BAC）等． 8．（ 2022 北京四中一模） 如圖，在 ΔABC 中， AC＝ 15， BC＝ 18， sinC=45 ， D 是 AC 上一個動點（不運動至點 A， C),過 D 作 DE∥ BC，交 AB 于 E，過 D 作 DF⊥ BC，垂足為 F，連結(jié) BD，設(shè) CD＝ x． （ 1）用含 x 的代數(shù)式分別表示 DF 和 BF； （ 2）如果梯形 EBFD 的面積為 S，求 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； (3）如果 △ BDF 的面積為 S1， △ BDE 的面積為 S2，那么 x 為何值時， S1＝ 2S2 答案： 32 9．（ 2022 北京四中一模）（本題 14 分） 如圖，已知直線 y＝－ 2x＋ 12 分別與 y 軸， x 軸交于 A， B 兩點，點 M 在 y 軸上，以點M 為圓心的 ⊙ M 與直線 AB 相切于點 D，連結(jié) MD． （ 1）求證： △ ADM∽△ AOB； （ 2） 如果 ⊙ M 的半徑為 2 5 ，請求出點 M 的坐標，并寫出以 5 29( , )22? 為頂點．且過點 M 的拋物線的解析式； （ 3）在（ 2）的條件下，試問在此拋物線上是否存在點 P，使得以 P， A， M 三點為頂點的三角形與 △ AOB 相似？如果存在，請求出所有符合條件的點 P 的坐標；如果不存在，請說明理由． 第 24 題圖 第 25 題圖 33 10.（ 2022 北京四中二模）（本題滿分 6 分）如圖 ,有一塊三角形土地，它的底邊 BC=100米，高 AH=80 米，某單位要沿著地邊 BC 修一 座底面是矩形 DEFG 的大樓， D、 G 分別在邊 AB、 AC 上 .若