【正文】 當(dāng) ? PSM∽ ? MRQ 時(shí)． ? SPM＝ ? RMQ， ? SMP＝ ? RQM． 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知 ? PMS+? QMR＝ 90? 。 ………………………… (9 分 ) 假設(shè)存在點(diǎn) M．且 MS＝ x ，別 MR＝ 2 bc x? 。 17. （ 2022 深圳市中考模擬五）如圖，拋物線ｙ＝ｘ 2 － 4ｘ－ 1 頂點(diǎn)為 D，與ｘ軸相交于 A、 B 兩點(diǎn)，與ｙ軸相交于點(diǎn) C． （１）求這條拋物線的頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)； （２）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 4）且與ｘ軸平行的直線與拋物線ｙ＝ｘ 2 － 4ｘ－ 1 相交于 M、 N 兩點(diǎn)（Ｍ在 N 的左側(cè)），以 MN 為直徑作 ⊙ P，過(guò)點(diǎn) D 作 ⊙ P 的切線，切點(diǎn)為 E，求點(diǎn) DE 的長(zhǎng)； （３）上下平移（２）中的直線 MN，以 MN 為直徑的 ⊙ Ｐ能否與ｘ軸 相切？如果能夠，求出 ⊙ Ｐ的半徑；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 答案：（１）ｙ＝ｘ 2 － 4ｘ－ 1 ＝ｘ 2 － 4ｘ＋ 4－ 5 39 ＝（ｘ－ 2） 2 － 5 ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 2，－ 5） …………………3 分 （２）當(dāng)ｙ＝ 4 時(shí)，ｘ 2 － 4ｘ－ 1＝ 5 解得ｘ＝－ 1 或ｘ＝ 5 ∴ M 坐標(biāo)為（－ 1， 4），點(diǎn) N 坐標(biāo)為（ 5， 4） ∴ MN＝ 6．Ｐ的半徑為 3，點(diǎn) P 的 坐標(biāo)為（ 2， 4） 連接 PE，則 PE⊥ DE ∵ PD＝ 9， PE＝ 3 根據(jù)勾股定理得 DE＝ 6 2 …………………8 分 （３）能夠相切，設(shè) ⊙ P 的半徑為ｒ，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，拋物線過(guò)點(diǎn)（ 2＋ｒ，ｒ）或（ 2＋ｒ，－ｒ） 代入拋物線解析式，求得ｒ＝ 2 121? 或ｒ＝ 2 121? …………………14 分 18. （ 2022 深圳市全真中考模擬一） 如圖 1，已知拋物線的頂點(diǎn)為 A(O， 1)，矩形 CDEF的頂點(diǎn) C、 F 在 拋物線上， D、 E 在 x 軸上， CF 交 y 軸于點(diǎn) B(0， 2)，且其面積為 8． (1)求此拋物線的解析式； (2)如圖 2，若 P 點(diǎn)為拋物線上不同于 A 的一點(diǎn)，連結(jié) PB 并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn) Q，過(guò)點(diǎn)P、 Q 分別作 x 軸的垂線，垂足分別為 S、 R． ① 求證： PB＝ PS； ② 判斷 △ SBR 的形狀； ③ 試探索在線段 SR 上是否存在點(diǎn) M，使得以點(diǎn) P、 S、 M 為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn) Q、 R、M 為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出 M 點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明 理由． 40 答案： ⑴ 解：方法一： ∵ B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (0． 2)， ∴ OB＝ 2， ∵ 矩形 CDEF 面積為 8， ∴ CF=4. ∴ C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (一 2， 2)． F 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2， 2)。 ∠ FEB=∠ BEC 所以 △ AEF≌△ BEC； ② 四邊形 BCFD 是平行四邊形； 可得 DF∥ BC,FC∥ DB,或 DF∥ BC，且 DF=BC 均可 （ 2）設(shè) BC=1，則 AC= 3 ,AD=AB=2 設(shè) DH=x,由折疊得 DH=CH=x,(2x)2 +3=x2 X=47 所以 Sin∠ ACH=71 16. （ 2022 浙江杭州育才初中模擬 ）（本小題滿分 12 分）在 △ ABC 中， ∠ AOB=90176。 ∴ 點(diǎn) M為原點(diǎn) O。． ∵△ GEF 為 △ ABD 繞 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得， ∴ FO=DO, ∠ F=∠ BDA DCPOAB圖 1 DCPOAB圖 2 FGED CBA 27 ∴ OB=OF ∠ OBM=∠ OFN 在 △ OMB 和 △ ONF 中 O B M O FNO B O FB O M FO N? ? ??????? ? ?? ∴△ OBM≌△ OFN ∴ BM=FN 5．（ 2022年安徽省巢湖市七中模擬） ．如圖 1，已知拋物線的頂點(diǎn)為 A(O， 1)，矩形 CDEF的頂點(diǎn) C、 F在拋物線上， D、 E在 x 軸上， CF交 y軸于點(diǎn) B(0， 2)，且其面積為 8． (1)求此拋物線的解析式； (2)如圖 2，若 P點(diǎn)為拋物線上不同于 A的一點(diǎn)，連結(jié) PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn) Q，過(guò)點(diǎn) P、 Q分別作 x 軸的垂線，垂足分別為 S、 R． ① 求證： PB＝ PS； ② 判斷 △ SBR的形狀； ③ 試探索在線段 SR上是否存在點(diǎn) M， 使得以點(diǎn) P、 S、 M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn) Q、 R、M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出 M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 圖 1 圖 2 答案： ． ⑴ 解： ∵ B點(diǎn)坐標(biāo)為 (0． 2)， ∴ OB＝ 2， ∵ 矩形 CDEF面積為 8， ∴ CF=4. ∴ C點(diǎn)坐標(biāo)為 (一 2， 2)． F點(diǎn)坐標(biāo)為 (2， 2)。如圖，點(diǎn) A、 B、 C、 D 分別是 “蛋圓 ”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 0， 3） AB 為半圓直徑，半圓圓心 M（ 1， 0），半徑為 2，則 “蛋圓 ”的拋物線 部分的解析式為 __________________。直線 OP 交 AB 于 N， DC 于 M，點(diǎn) H 從原點(diǎn) O 出發(fā)沿 x 軸的正半軸方向以 1 個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) R 從 O 出發(fā)沿 OM 方向以 2 個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t。 ∴∠ ODB+∠ EBD=90176。 （ 2） 當(dāng) t1≤t≤t2 時(shí) ，（ 20t） 2+(16020t)2≤1202， 所以在 t1 到 t2 這段時(shí)間內(nèi)，汽車一直受到臺(tái)風(fēng)影響， 因?yàn)?∣ t1t2∣ =2 2 ， 所以汽車受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為 2 2 小時(shí)。 （ △ 代表木箱， ☆ 代表木箱應(yīng)到的目的地， □代表空地， 代表墻壁，移動(dòng)一次只動(dòng)一個(gè)格）其中第一關(guān)是如圖一設(shè)計(jì)。直接寫出所有滿足條件的 M 點(diǎn)的坐標(biāo)； 過(guò)點(diǎn) P 作 PE⊥ AC，垂足為 E，當(dāng) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段 EG 的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變，請(qǐng)說(shuō)明理由。, ∴∠ EOF=90176。OQ,即（ 8 3 ） 2=88a,∴ a=3,符合題意 . 故當(dāng) 3?a 時(shí)， △ ODQ∽△ OAB。從乙站到丙站有三種走法。點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ 0,8 3 ），點(diǎn) P 從點(diǎn) C 開(kāi)始以 每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段 CB 上向點(diǎn) B 移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) O 開(kāi)始以每秒 a(1≤a≤3)個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線 OA 方向移動(dòng)，設(shè) t(0t≤8)秒后，直線 PQ 交 OB 于點(diǎn) D. (1)求 ∠ AOB 的度數(shù)及線段 OA 的長(zhǎng) (2)求經(jīng)過(guò) A、 B、 C 三點(diǎn)的拋物線的解析式； (3)當(dāng) a=3,OD= 334 時(shí)，求 t 的值及此時(shí)直線 PQ 的解析式； (4)當(dāng) a 為何值時(shí)，以 O、 Q、 D 為頂點(diǎn)的三角形與 △ OAB 相似？當(dāng) a 為何值時(shí)，以 O、Q、 D 為頂點(diǎn)的三角形與 △ OAB 不相似？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并加以說(shuō)明 . 解：（ 1） ∠ AOB=30176。 ∴∠ ADC＝３０ 176。 （ 1）求 m、 n 的值； （ 2）如果點(diǎn) P 在 x 軸上，并在點(diǎn) A 與點(diǎn) D 之間，點(diǎn) Q 在線段 AC 上，且 AP=CQ,那么當(dāng) △ APQ 與 △ ADC 相似時(shí)，求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)． 答案：解： (1)∵ 點(diǎn) C（ 4， n）在 xy 24? 的圖象上， ∴ n=6,∴ C（ 4， 6） 1 分 ∵ 點(diǎn) C（ 4， 6）在 mxy ?? 43 的圖象上， ∴ m=31 分 (2) 3 34yx??與 x 軸交于點(diǎn) A（ 4， 0），與 y 軸交于點(diǎn) B（ 0， 3） 2 分 設(shè) AP=CQ=t， ∵ C（ 4， 6）， CD⊥ x 軸， ∴ AD=8,CD=6,∴ AC=10, ∴ AQ=10t， ∵△ APQ 與 △ ADC 相似，且 ∠ A=∠ A, ∴ A P A D A P A CA Q A C A Q A D??或，即 810 10t t ?? 或 1010 8t t ?? 2 分 ∴ 409t? 或 509t? 2 分 ∵ 點(diǎn) Q 在直線 3 34yx??上， ∴ 設(shè) 3( , 3)4Q x x? （ 4＜ t＜ 4） 1 分 作 QH⊥ x 軸 ,則 AH=x+4 ∵ QH//CD,∴ AH AQAD AC? ,即 4 108 10xt??? 1 分 當(dāng) 409t? 時(shí)， 40104 98 10x ?? ? ，解得： 49x? ， 4 10( , )93Q 1 分 A B O x y A B C D P Q H O 9 當(dāng) 509t? 時(shí)， 50104 98 10x ?? ? ，解得： 49x?? ， 48( , )93Q? 1 分 （北京四中模擬） 如圖，矩形紙片 ABCD 中， 26AB? 厘米， ? 厘米，點(diǎn) E 在 AD 上，且 AE=6厘米，點(diǎn) P 是 AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)．按如下操作： 步驟一，折疊紙片，使點(diǎn) P 與點(diǎn) E 重合，展開(kāi)紙片得折痕 MN（如圖 ① ）； 步驟二，過(guò)點(diǎn) P 作 ABPT? ，交 MN 所在的直線于點(diǎn) Q，連結(jié) QE（如圖 ② ）． 圖 ① 圖 ② 圖 ③ （ I）無(wú)論點(diǎn) P 在 AB 邊上任何位置，都有 PQ QE（填 “”、 “=”、 “”）； （ II） 如圖 ③ 所示，將矩形紙片 ABCD 放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作： （ i）當(dāng)點(diǎn) P 在 A 點(diǎn)時(shí)， PT 與 MN 交于點(diǎn) 1Q ， 1Q 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ， ）； （ ii）當(dāng) PA=6 厘米時(shí)， PT 與 MN 交于點(diǎn) 2Q ， 2Q 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ， ）； （ iii）當(dāng) PA=a 厘米時(shí)，在圖 ③ 中用尺規(guī)作出 MN（不要求寫作法，要求保留作圖痕跡），PT 與 MN 交于點(diǎn) 3Q ， 3Q 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ， ）． 備用圖 備用圖 解：（ I）無(wú)論點(diǎn) P 在 AB 邊上任何位置，都有 PQ = QE（填 “”、 “=”、 “”）； （ II）如圖 ③ 所示，將矩形紙片 ABCD 放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作： 10 （ i）當(dāng)點(diǎn) P 在 A 點(diǎn)時(shí)， PT 與 MN 交于點(diǎn) 1Q ， 1Q 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ０ ， ３ ）； （ ii）當(dāng) PA=6 厘米時(shí)， PT 與 MN 交于點(diǎn) 2Q ， 2Q 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ６ ， ６ ）； （ iii）當(dāng) PA=a 厘米時(shí)，在圖 ③ 中用尺規(guī)作出 MN（連結(jié) EP，做中垂線，作圖略）， 1. （ 2022 年黃岡市浠水縣中考調(diào)研試題）如圖，二次函數(shù) 21 22yx?? ? 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C 點(diǎn)，點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 1 個(gè)單位每秒的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 同時(shí)從 C 點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度向 y 軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，點(diǎn) P 到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。 當(dāng) 2＜ t≤4時(shí)，同理可證。 答案： (1）（ 24+23+……+24 ） 247。 答案：解：（ 1） 因?yàn)?一次函數(shù) 12 ?? xy 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ k,5） 所以有 5＝ 2k1 解得 k＝ 3 所以反比例函數(shù)的解析式為 y=3x （ 2）由題意得：????????123xy xy 解這個(gè)方程組得：???????223yx 或??? ???? 31yx 因?yàn)辄c(diǎn) A 在第一象限，則 x0 y0，所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 23 ， 2） 7. （ 2022 年北京四中中考全真模擬 17） 如圖，以 Rt△ ABC 的直角邊 AB 為直徑的半圓O，與斜邊 AC 交于 D， E 是 BC 邊上的中點(diǎn)，連結(jié) DE. (1) DE 與半圓 O 相切嗎？若相切，請(qǐng)給出證明；若不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2) 若 AD、 AB 的長(zhǎng)是方程 x2－ 10x+24=0 的兩個(gè)根，求直角邊 BC 的長(zhǎng)。問(wèn) A 和 C 之間相距多少 m？ A 距離 B 多少 m？ 答案： 解：連結(jié) AC 由題意知， AD⊥ BD 在 Rt△ BCD 中， BC=60， ∠ DBC=45 o