【正文】 cos 45BDBC ? ∴ BD=302 sin 45CDBC ? ∴ CD=302 …………………2 分 在 Rt△ ABD 中 ， ∠ ABD=60 o sin 60ADAB ? ∴ AD=306 …………………1 分 cos 60BDAB ? ∴ AB=602 …………………2 分 ∴ AC=306 +302 …………………2 分 答： A 和 C 之間相距 306 +302 m。其中真命題的個(gè)數(shù) ( ) A． 4 個(gè) B． 3 個(gè) C． 2 個(gè) D． 1 個(gè) 答案： C （ 2022 年 浙江杭州 27 模） 如圖， △ ABC 中， BC=4，以 A 為圓心， 2 為半徑的 ⊙ A與 BC 相切于 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F， P 是 ⊙ A 上一點(diǎn)，且 ∠ EPF=40176。 2 ．（ 2022 年 杭 州 三 月 月 考 ） 已 知 一 個(gè) 直 角 三 角 形 紙 片 OAB ， 其 中90 2 4AOB OA OB? ? ? ?176。 當(dāng) ? PSM∽ ? MRQ時(shí)． ? SPM＝ ? RMQ， ? SMP＝ ? RQM． 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知 ? PMS+? QMR＝ 90? 。 ∠ CAB=30176。 （原創(chuàng)） 圖 1 A B C D E F 30176。 ∴ PN=PS—NS= 21 14a? ………………………… (5 分 ) 在 Rt PNB 中 ． PB＝ 2 2 2 2 2 2 211( 1 ) ( 1 )44P N B N a a a? ? ? ? ? ? ∴ PB＝ PS＝ 21 14a? ………………………… (6 分 ) ② 根據(jù) ① 同理可知 BQ＝ QR。 ∴ 22 12M R bc x bc c Q B R OM S x b B P O Sb bcbc?? ? ? ? ? ??。 ∴ 點(diǎn) M 為原點(diǎn) O。 ∴ SR＝ 2 bc ∴ M 為 SR 的中點(diǎn) .………………………… (11 分 ) 若使 △ PSM∽△ QRM， 則有2bcx bc x? ?。 ……… (1 分 ) 41 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為 2y ax c??。在 點(diǎn)P、 D 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終滿足 PO=PD，過(guò)點(diǎn) O、 D 向 AB 做垂線，垂足分別為點(diǎn) C、 E,設(shè)OD=x (1)AP=(用含 x 的代數(shù)式表示 ) （ 2）在點(diǎn) P、 D 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段 PC 與 BE 是否相等？若相等，請(qǐng)給予證明，若不相等，說(shuō)明理由?；?AC∥ OD 或劣弧 BC 的中點(diǎn)其中一條 . 12.（ 2022 北京四中二模）（本題滿分 11 分） 閱讀材料： 如圖 ,在四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC⊥ BD，垂足為 P. 求證： S 四邊形 ABCD= 1AC ? 證明： AC⊥ BD→1 ,21 .2A CDABCS AC PDS AC BP??? ?????? ???? ∴ S 四邊形 ABCD=S△ ACD+S△ ACB= 11A C PD A C B P22? ? ? = 11A C ( PD PB ) A C B D .22? ? ? 解答問(wèn)題： （ 1）上述證明得到的性質(zhì)可敘述為 _______________________________________. （ 2）已知：如圖，等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC，對(duì)角線 AC⊥ BD 且相交于點(diǎn)P， AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性質(zhì)求梯形的面積 . O A C B 第 11 題圖 第 12 題圖 P A C B D 35 答案：（ 1）敘述： 對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半 . （ 2） S 梯形 =25(cm2). 13．（ 2022 灌南縣新集中學(xué)一模 ）（ 12 分） 在等腰三角形 ABC 中， AB=AC， O 為 AB上一點(diǎn)，以 O 為圓心、 OB 長(zhǎng)為半 徑的圓交 BC 于 D， DE⊥ AC 交 AC 于 E. (1)試判斷 DE與 ⊙ O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由 . (2)若 ⊙ O與 AC相切于 F， AB=AC=5cm， 53sin ?A ，求 ⊙ O的半徑的長(zhǎng) . 答案：（ 1） DE是 ⊙ O的切線。 ∴ PN=PS—NS= 21 14a? ………………………… (5 分 ) 在 Rt△ PNB中 ． PB2＝ 2 2 2 2 2 2 211( 1 ) ( 1 )44P N B N a a a? ? ? ? ? ? ∴ PB＝ PS＝ 21 14a? ………………………… (6 分 ) ② 根據(jù) ① 同理可知 BQ＝ QR。BC 的值為 ． 答案： 2 5. （ 2022 湖北省崇陽(yáng)縣城關(guān) 中學(xué)模擬） 如圖，在半圓 O 中，直徑 AE=10，四邊形 ABCD是平行四邊形，且頂點(diǎn) A、 B、 C 在半圓上，點(diǎn) D 在直徑 AE 上，連接 CE，若 AD=8，則CE 長(zhǎng)為 ．答案： 10 O C B A 第 1 題 圖 24 三、解答題 1．（ 2022 年重慶江津區(qū)七校聯(lián)考）已知ａ、ｂ、ｃ分別是 △ ABC 的三邊，其中ａ＝ 1，ｃ＝ 4，且關(guān)于 x 的方程 042 ??? bxx 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷 △ ABC 的形狀。 060????? C A PBACAB ，等邊三角形中，? 又由條件得 AP=BQ， ∴ ABQ? ≌ CAP? (SAS) ∴ ACPBAQ ??? ∴ 060???????????? B A CC A MB A QC A MA C PCMQ （ 2）設(shè)時(shí)間為 t，則 AB=BQ=t， PB=4t 當(dāng) 34,24,2,6090 00 ????????? tttBQPBBP Q B 得時(shí)， ? 當(dāng) 2),4(22,2,6090 00 ????????? tttPQBQBB P Q 得時(shí)， ? ∴ 當(dāng)?shù)?34 秒或第 2 秒時(shí)， ?PBQ 為直角三角形 （ 3） 0120??CMQ 不變。 “蹦蹦床 ”A在 “小舞臺(tái) ”C 的正北方向，在 “正大門(mén) ”B 的北偏東 30176。若點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)速度不變改變 Q 的運(yùn)動(dòng)速度，使 △ OPQ 為正三角形，求 Q 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和此時(shí) t 的值。 ⑵ 收費(fèi)站規(guī)定 ，一輛機(jī)動(dòng)車(chē)通過(guò)一次原則上收費(fèi) 20 元，以保護(hù)環(huán)境為根本，達(dá)到環(huán)保指標(biāo)的減少 1 元收費(fèi)，不達(dá)標(biāo)的多收 2 元，若某天的總收入為 y 元，通過(guò)的達(dá)標(biāo)車(chē)輛是不達(dá)標(biāo)車(chē)輛的 x 倍，求 x 與 y 之間的函數(shù)關(guān)系式。 11 由 AP＝ t，可得 AE＝ 22t . 由 GH QHPO QO?可得 GH＝ 12t? ，所以 GC＝ 2 GH＝ 22 2 t? . 于是， GE＝ AC－ AE－ GC＝ 222 2 ( 2 )tt? ? ?＝ 2 。 即 ∠ CDO＝ 90176。 ， P 是 AOB? 內(nèi)一點(diǎn)， 10PO? ， QR、 分別是 OA OB、上的動(dòng)點(diǎn)，求 PQR△ 周長(zhǎng)的最小值． 答案：（本小題 10 分） （ 1） ………………2 分 （ 2）延長(zhǎng) AO 交 ⊙ o 于點(diǎn) D，連接 CD 交 OB 于 P 則 PA=PD， PA+PC=PC+PD=CD 連接ＡＣ， ∵ ＡＤ為直徑， ∴∠ ACD＝９０ 176。 答案： 2232 16nn ?? 3. （ 2022 年北京四中中考全真模擬 16） 如圖所示，圖中共有 條線段，共有 個(gè)長(zhǎng)方形。 A G B H C F D E 第 1 題 2 A. 4 B. 5 C. 6 答案： C 2. （ 2022 年北京四中中考全真模擬 15） 一個(gè)窗戶(hù)被裝飾布檔住一部分，其中窗戶(hù)的長(zhǎng)與寬之間比為 3:2 裝飾布由一個(gè)半圓和兩個(gè)四分之一圓組成，圓的直徑都是 2n ,這個(gè)窗口未被遮擋部分的面積為 __________。 ， P是 OB 上一動(dòng)點(diǎn)，求 PA PC? 的最小值； （ 3）如圖 3， 45AOB??176。 （ 1）當(dāng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn) A、 O 在同一條直線上時(shí)，試證明直線 CD 與 ⊙ O 相切； （ 2）當(dāng)直線 CD 與 ⊙ O 相切時(shí)，求 OD 所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 x，正方形 ABCD 的面積為 S，求 S 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S 的最大值與最小值． 答案： yx5O 1DCBA（ 第 24 題 ） 2 （本小題滿分 12 分） （ 1） 因?yàn)?A、 D、 O 三點(diǎn)在同一條直線上 ， ∵ ∠ ADC＝ 90176。 （ 4）當(dāng) 0＜ t＜ 2 時(shí)，過(guò) G 作 GH⊥ y 軸，垂足為 H。 下圖為第三關(guān)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出移動(dòng)方案 : 方案為： → 數(shù)字 表示 8 上移一格 2 下移一格 4 左移一格 6 右移一格 12 答案：多種方式，合理即可 . 3. （ 2022 年北京四中中考全真模擬 15）為收回建路成本，更好的保養(yǎng)公路，設(shè)立了公路收費(fèi)站，某興趣小組對(duì)一個(gè)收費(fèi)站通過(guò)車(chē)輛情況做了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下： 時(shí)間 第 1分鐘 第 2 分鐘 第 3 分鐘 第 4 分鐘 第 5 分鐘 第 7 分鐘 第 8 分鐘 第 9 分鐘 第 10分鐘 通過(guò)車(chē)輛數(shù) 24 23 25 22 26 23 24 25 24 ⑴ 利用上述數(shù)據(jù)求平均每分鐘通過(guò)多少車(chē)輛，并估計(jì)一天通過(guò)的車(chē)輛數(shù)。 OA=3cm，OB=4cm，以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè) P、 Q 分 別為 AB、 OB 邊上的動(dòng)點(diǎn)它們同時(shí)分別從點(diǎn) A、 O 向 B 點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為 1cm/秒，設(shè) P、 Q 移動(dòng)時(shí)間為 t（ 0≤t≤4） （ 1）過(guò)點(diǎn) P 做 PM⊥ OA 于 M，求證： AM： AO=PM： BO=AP： AB，并求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)（用 t 表示） （ 2）求 △ OPQ 面積 S（ cm2），與運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng) t 為何值時(shí)， 14 S 有最大值？最大是多少？ （ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)， △ OPQ 為直角三角形？ （ 4）證明無(wú)論 t 為何值時(shí)， △ OPQ 都不可能為正三角形。AC∴ AC=AB2AD ∵ AD、 AB 的長(zhǎng)是方程 x2－ 10x+24=0 的兩個(gè)根 ∴ 解方程 x2－ 10x+24=0 得： x1=4 x2=6 ∵ ADAB ∴ AD=4 AB=6 ∴ AC=9 在 Rt△ ABC 中 ， AB=6 AC=9 ∴ BC= AC2AB2 = 8136 =3 5 8. （ 2022 年北京四中中考全真模擬 17）已知：如圖 9，等腰梯形 ABCD 的邊 BC 在 x軸上，點(diǎn) A 在 y 軸的正方向上， A( 0, 6 )， D ( 4， 6），且 AB＝ 210 . （ 1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)； （ 2）求經(jīng)過(guò) A、 B、 D 三點(diǎn)的拋物線的解析式； （ 3）在（ 2）中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn) P，使得 S△ ABC = 12 S 梯形 ABCD ?若存在，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理 由 . 17 答案：（ 1）在 RtΔABC 中， ， 又因?yàn)辄c(diǎn) B 在 x 軸的負(fù)半軸上，所以 B（－ 2， 0） （ 2）設(shè)過(guò) A， B， D 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 ， 將 A（ 0， 6）， B（－ 2， 0）， D（ 4， 6）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 616 4 64 2 0ca b ca b c???? ? ???? ? ?? 解得 1226abc????