【正文】 小舞臺(tái) ”C 在 “正大門 ”B 的東南方向60m 處。直線 OP 交 AB 于 N， DC 于 M，點(diǎn) H 從原點(diǎn) O 出發(fā)沿 x 軸的正半軸方向以 1 個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) R 從 O 出發(fā)沿 OM 方向以 2 個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t。 060????? C A PBACAB ，等邊三角形中，? ∴ 0120???? A C QPBC 又由條件得 BP=CQ， ∴ PBC? ≌ ACQ? (SAS) ∴ MQCBPC ??? 又 M C QP C B ???? ∴ 0120???? PBCC M Q …… 1′ …… 2′ …… 2′ …… 1′ …… 1′ …… 1′ 21 B 組 綜合型問(wèn)題 一、選擇題 1．（ 2022 浙江杭州義蓬一中一模 ）下列函數(shù)的圖象，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的是（ ） A. xxy 35 2 ?? B. 12 ??xy C. xy 2? D. 73 ??? xy 答案： A 2.（ 2022 浙江杭州育才初中模擬 ）如圖 1，四個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的小正方形拼成一 個(gè)大正方形，A、 B、 O 是小正方形頂點(diǎn)， ⊙ O 的半徑為 1， P 是 ⊙ O 上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則 tan∠ APB 等于（ ） （ 09 河北中考試題第 5 題改編） (A) 1 (B) 3 (C) 33 (D) 12 答案： A 3.（安徽蕪湖 2022 模擬）如圖，一圓弧過(guò)方格的格點(diǎn) A、 B、 C，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn) A 的 坐標(biāo)為（－ 2， 4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（ ） A. （－ 1， 2） B. （ 1，－ 1） C. （－ 1， 1） D. （ 2， 1） . 答案 : C 4. （浙江杭州金山學(xué)校 2022 模擬）（引九年級(jí)模擬試題卷）函數(shù)2y ax b y ax bx c? ? ? ? ?和 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（ ▲ ） 22 答案： C （ 2022 杭州模擬 20）給出下列命題： ① 反比例函數(shù) xy 2? 的圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，且 y 隨 x 的增大而減??； ② 對(duì)角線相等且有一個(gè)內(nèi)角是直角的四邊形是矩形； ③ 我國(guó)古代三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，創(chuàng)制了一幅 “勾股圓方圖 ”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明（右圖）；④ 等弧所對(duì)的圓周角相等 .其中正確的是（ ） （ A） ③④ （ B） ①②③ （ C） ②④ （ D） ①②③④ 答案： A （ 2022 年北京四中 34 模）給出下面四個(gè)命題 :(1)平分弦的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的??； (2) 二次函數(shù) 322 ??? xaxy ，當(dāng) a0 時(shí) y 隨 x 的增大而 增大； (3)同角的補(bǔ)角相等； (4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。如圖，點(diǎn) A、 B、 C、 D 分別是 “蛋圓 ”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 0， 3） AB 為半圓直徑，半圓圓心 M（ 1， 0），半徑為 2，則 “蛋圓 ”的拋物線 部分的解析式為 __________________。 答案： ∵ 關(guān)于 x 的方程 042 ??? bxx 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ∴ △ ＝ 04)4( 2 ??? b ∴ 4?b ∴ 4??cb △ ABC 是等腰三角形。． ∵△ GEF 為 △ ABD 繞 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得， ∴ FO=DO, ∠ F=∠ BDA DCPOAB圖 1 DCPOAB圖 2 FGED CBA 27 ∴ OB=OF ∠ OBM=∠ OFN 在 △ OMB 和 △ ONF 中 O B M O FNO B O FB O M FO N? ? ??????? ? ?? ∴△ OBM≌△ OFN ∴ BM=FN 5．（ 2022年安徽省巢湖市七中模擬） ．如圖 1，已知拋物線的頂點(diǎn)為 A(O， 1)，矩形 CDEF的頂點(diǎn) C、 F在拋物線上， D、 E在 x 軸上， CF交 y軸于點(diǎn) B(0， 2)，且其面積為 8． (1)求此拋物線的解析式； (2)如圖 2，若 P點(diǎn)為拋物線上不同于 A的一點(diǎn)，連結(jié) PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn) Q，過(guò)點(diǎn) P、 Q分別作 x 軸的垂線，垂足分別為 S、 R． ① 求證： PB＝ PS； ② 判斷 △ SBR的形狀； ③ 試探索在線段 SR上是否存在點(diǎn) M， 使得以點(diǎn) P、 S、 M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn) Q、 R、M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出 M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 圖 1 圖 2 答案： ． ⑴ 解： ∵ B點(diǎn)坐標(biāo)為 (0． 2)， ∴ OB＝ 2， ∵ 矩形 CDEF面積為 8， ∴ CF=4. ∴ C點(diǎn)坐標(biāo)為 (一 2， 2)． F點(diǎn)坐標(biāo)為 (2， 2)。 ∴ 12??? ， 又 ∵ 13??? ， ∴ 23??? ， c 29 同理 ? SBP＝ 5? ………………………… (7分 ) ∴ 2 5 2 3 18 0? ? ? ? ? ∴ 5 3 90? ?? ? ? ∴ 90SBR? ? ? . ∴ △ SBR為直角三角形． ………………………… (8 分 ) ③ 若以 P、 S、 M為頂點(diǎn)的三角形與 以 Q、 M、 R為頂點(diǎn)的三角形相似， ∵ 90PS M MRQ? ? ? ? ?， ∴ 有 ? PSM∽ ? MRQ和 ? PSM∽△ QRM兩種情況。 ∴ 點(diǎn) M為原點(diǎn) O。 證明 :連接 OD， ∵ OB=OD ， ∴∠ B=∠ ODB ∵ AB=AC ， ∴∠ B=∠ C ∴∠ ODB=∠ C ∴ OD∥ AC 又 DE⊥ AC ∴ DE⊥ OD ∴ DE 是 ⊙ O 的切線 （ 2）解：如圖， ⊙ O 與 AC 相切于 F 點(diǎn)，連接 OF， 則： OF⊥ AC， 在 Rt△ OAF 中， sinA= 53?OAOF ∴ OA= OF35 又 AB=OA+OB=5 ∴ 535 ?? OFOF ∴ OF= 815 cm D P B C A FEDOCBA 36 14．（ 2022 灌南縣新集中學(xué)一模 ）（ 12 分）足球比賽中，某運(yùn)動(dòng) 員將在地面上的足球?qū)χ蜷T踢出，圖 13 中的拋物線是足球的飛行高度 y(m)關(guān)于 飛行時(shí)間 x(s)的函數(shù)圖象 (不考慮空氣的阻力 )，已知足球飛出 1s 時(shí)，足球的飛行高度是 ，足球從飛出到落地共用 3s． ⑴ 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； ⑵ 足球的飛行高度能否達(dá)到 米？請(qǐng)說(shuō)明理由； ⑶ 假設(shè)沒(méi)有攔擋，足球?qū)⒉林蜷T左上角射入球門，球門的高為 (如圖 14 所示，足球的大小忽略不計(jì) )．如果為了能及時(shí)將足球撲出，那么足球被踢出時(shí)，離球門左邊框 12m處的守門員至少要以多大的平均速度到球門的左邊框？ 圖 14312 . 44x / sy / mO圖 13 答案：解：（ 1）設(shè) y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為 bxaxy ?? 2 ． 依題可知：當(dāng) 1?x 時(shí)， ?y ；當(dāng) 3?x 時(shí)， 0?y ． ∴??? ???? 039 ba， ∴??? ??? ， ∴ xxy 2 ??? ． （ 2）不能．理由： ∵ ?y ， ∴ xx 2 ??? ， ∴ 0432 ??? xx ． ∵ 044)3( 2 ???? ， ∴ 方程 xx 2 ??? 無(wú)解． ∴ 足球的飛行高度不能達(dá)到 ． （ 3） ∵ ?y ， ∴ xx 2 ??? ， ∴ 0232 ??? xx ， ∴ 11?x （不合題意，舍去）， 22?x ∴ 平均速度至少為 6212? （ m/s）． 15.（ 2022 浙江杭州義蓬一模 ）圖 1,在 △ A BC 中， ∠ ACB=90176。 ∠ FEB=∠ BEC 所以 △ AEF≌△ BEC； ② 四邊形 BCFD 是平行四邊形； 可得 DF∥ BC,FC∥ DB,或 DF∥ BC，且 DF=BC 均可 （ 2）設(shè) BC=1，則 AC= 3 ,AD=AB=2 設(shè) DH=x,由折疊得 DH=CH=x,(2x)2 +3=x2 X=47 所以 Sin∠ ACH=71 16. （ 2022 浙江杭州育才初中模擬 ）（本小題滿分 12 分）在 △ ABC 中， ∠ AOB=90176。 （ 3）設(shè)以點(diǎn) P、 O、 D、 E 為頂點(diǎn)的四邊形面積為 y，請(qǐng)直接寫(xiě)出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍。 17. （ 2022 深圳市中考模擬五）如圖，拋物線ｙ＝ｘ 2 － 4ｘ－ 1 頂點(diǎn)為 D，與ｘ軸相交于 A、 B 兩點(diǎn)，與ｙ軸相交于點(diǎn) C． （１）求這條拋物線的頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)； （２）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 4）且與ｘ軸平行的直線與拋物線ｙ＝ｘ 2 － 4ｘ－ 1 相交于 M、 N 兩點(diǎn)（Ｍ在 N 的左側(cè)），以 MN 為直徑作 ⊙ P，過(guò)點(diǎn) D 作 ⊙ P 的切線，切點(diǎn)為 E，求點(diǎn) DE 的長(zhǎng)； （３）上下平移（２）中的直線 MN，以 MN 為直徑的 ⊙ Ｐ能否與ｘ軸 相切？如果能夠，求出 ⊙ Ｐ的半徑；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 答案：（１）ｙ＝ｘ 2 － 4ｘ－ 1 ＝ｘ 2 － 4ｘ＋ 4－ 5 39 ＝（ｘ－ 2） 2 － 5 ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 2，－ 5） …………………3 分 （２）當(dāng)ｙ＝ 4 時(shí)，ｘ 2 － 4ｘ－ 1＝ 5 解得ｘ＝－ 1 或ｘ＝ 5 ∴ M 坐標(biāo)為（－ 1， 4），點(diǎn) N 坐標(biāo)為（ 5， 4） ∴ MN＝ 6．Ｐ的半徑為 3，點(diǎn) P 的 坐標(biāo)為（ 2， 4） 連接 PE，則 PE⊥ DE ∵ PD＝ 9， PE＝ 3 根據(jù)勾股定理得 DE＝ 6 2 …………………8 分 （３）能夠相切，設(shè) ⊙ P 的半徑為ｒ，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，拋物線過(guò)點(diǎn)（ 2＋ｒ，ｒ）或（ 2＋ｒ，－ｒ） 代入拋物線解析式，求得ｒ＝ 2 121? 或ｒ＝ 2 121? …………………14 分 18. （ 2022 深圳市全真中考模擬一） 如圖 1，已知拋物線的頂點(diǎn)為 A(O， 1)，矩形 CDEF的頂點(diǎn) C、 F 在 拋物線上， D、 E 在 x 軸上， CF 交 y 軸于點(diǎn) B(0， 2)，且其面積為 8． (1)求此拋物線的解析式； (2)如圖 2，若 P 點(diǎn)為拋物線上不同于 A 的一點(diǎn)，連結(jié) PB 并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn) Q，過(guò)點(diǎn)P、 Q 分別作 x 軸的垂線，垂足分別為 S、 R． ① 求證： PB＝ PS； ② 判斷 △ SBR 的形狀； ③ 試探索在線段 SR 上是否存在點(diǎn) M，使得以點(diǎn) P、 S、 M 為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn) Q、 R、M 為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出 M 點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明 理由． 40 答案： ⑴ 解：方法一： ∵ B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (0． 2)， ∴ OB＝ 2， ∵ 矩形 CDEF 面積為 8， ∴ CF=4. ∴ C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (一 2， 2)． F 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2， 2)。 其過(guò)點(diǎn) A(0， 1)和 C(2． 2) 124c ac??? ???……… 解這個(gè)方程組，得 1,14ac?? 此拋物線解析式為 21 14yx?? (2)解： ① 過(guò)點(diǎn) B 作 BN BS? ，垂足為 N． ∵ P 點(diǎn)在拋物線 y= 214x 十 l 上．可設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 21( , 1)4aa? ． ∴ PS＝ 21 14a? ， OB＝ NS＝ 2， BN＝ a 。 ………………………… (9 分 ) 假設(shè)存在點(diǎn) M．且 MS＝ x ，別 MR＝ 2 bc x? 。 43 ∴ 2b bcx bc? ? 。 當(dāng) ? PSM∽ ? MRQ 時(shí)． ? SPM＝ ? RMQ， ? SMP＝ ? RQM． 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知 ? PMS+? QMR＝ 90? 。 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M 為 SR 的中點(diǎn)時(shí)， ? PSM∽△ MRQ；當(dāng)點(diǎn) M 為原點(diǎn)時(shí)，? PSM∽△ QRM………………