【正文】 其實類型一與類型二可歸結為 )(1 nfpaa nn ??? ， )(nf 可以為常函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等，其基本解題思路是在遞推式兩邊加上相同性質(zhì)的量， 使之成為等差或等比數(shù) 列 . 不動點法 方程 )(xf =x稱為函數(shù) )(xf 的不動點方程，其根稱為函數(shù) )(xf 的不動點 .對于較復雜的數(shù)列遞推式，用其他方法難以解決的，可以用不動點法推導數(shù)列的通項。最常見的方法是累加，累乘法 . 累加法 累加法，一般適用于遞推數(shù)列 )(1 nfaa nn ??? 的類型，遇到此類型 的題，一般題干中會告訴 1a 的值，解題思路為：首先把等式化為 )(1 nfaa nn ?? ， 再把當 n=1,2,3,4?分別代入上述等式中得 )3()2()1(342312faafaafaa?????? ? ? ?nfaa nfaa nn nn ?? ???? ?1 1 )1( 第一式與第二式相加左邊消去了 2a ,再與第三式相加消去了 3a ,依次累加后得 ? ? ? ? ? ?nfffaa n ?????? ?2111 ， 所以 ? ? ? ? ? ?1211 ?????? nfffaa n ?， 變式得 ? ? ? ? ? ? 121 anfffa n ????? ? 注： ? ? ? ? ? ?nfff ??? ?21 的結果必然是關于 n關系式 .在求和過程中可能會涉及到等差、等比數(shù)列的求和方法。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 ,通常用 q 來表示。所以， 推導 數(shù)列的通項公式 關鍵是找出 na 與 n的關系。在本文中討論的方法也是函數(shù)中常用的技巧 . 在各類研究數(shù)列通項公式的資料中，推導數(shù)列通項公式的常用方法一般有：公式法，待定系數(shù)法，不動點法，累加法，累乘法，歸納猜想法 ，構造等差或等比數(shù)列法等 .本文從實際出發(fā)， 首先介紹在數(shù)列知識體系中的一些相關概念及公式，然后 把上述方法比較系統(tǒng)的歸納為四大類：公式法、歸納猜想法、迭代法、構造新數(shù)列法 .解題思路 由簡單到復雜，難度一步步上升 .不僅如此，內(nèi)容安排上把方法和應用相結合，讓讀者更好的理解和掌握。 如果等比數(shù)列的首項為 1a ，公比為 q ，那么這個數(shù)列可以寫成 ?? , 112111 ?nqaqaqaa 的形式，所以，等比數(shù)列的通項公式是 11 ?? nn qaa 遞推數(shù)列：根據(jù)等差數(shù)列的概念，形成等差數(shù)列的條件可以看作任一項與前一項的差為常數(shù)，即 daa nn ???1 ，像這樣表示若干個相鄰項之間的關系式叫做數(shù)列的遞推式 .一個數(shù)列的第 n 項 na 與前面的 k 項 knnn aaa ??? , 21 ? 的關系),( 21 knnnn aaafa ???? ?稱為 k 階遞推關系，由 k 階關系及給定的前 k 項kaaa , 21 ? 的值所確定的數(shù)列叫做 k 階遞推數(shù)列 . 在高中數(shù)學中，很多關于數(shù)列的題的題干都是以遞推式的形式給出，如nnnn aaaa ?? ?? 11 、 3 121 ??? nn aa 、 qpaa nn ???1 等 .這樣就加大了推導數(shù)列通項公式的難度。 累乘法 累乘法的思想與累加法本質(zhì)上是一樣的， 在數(shù)列中如果遇到 nn anfa )(1 ?? 這種類型，通常先把等式化為 )(1 nfaa nn ??，分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，再層層代入等式中得 ??112 faa ? ? ?223 faa ? ? ? ?11 ??? nfaann ? ?nfaa nn ??1 令各項累乘 得 ? ? ? ? ? ?nfffaa n ?211 1 ?? ， 化簡得 ? ? ? ? ? ? 11 21 anfffa n ??? . 所以 ? ? ? ? ? ? 121 anfffa n ?? ， 由此可求出數(shù)列通項 . 構造新數(shù)列法 構造法就是在解決某些數(shù) 學問題的過程中，通過對條件與結論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當?shù)妮o助模型，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構造”。如 一階遞推式 qpaa nn ???1 。 解：因為 ??na 的特征函數(shù) 724)( ??? xxxf ,由 xxxxf ???? 724)( , 0232 ??? xx ， 所以 11 ??x 或 22 ??x 解法一（不動點法） 1和 2為相異的不動點，所以設存在 k,使得 212111 ??????? nnnn aakaa， 所以 21