數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用論-免費(fèi)閱讀
【正文】 而稍加復(fù)雜，具有一定技巧性的為歸納猜想法，累加法，累乘法的應(yīng)用，如例 3 例 4 例 5，但只要清楚題型是屬于哪種類型的，尋找相應(yīng)的方法問題就迎刃而解 .在本文中 最復(fù)雜，最多變，技巧性較高的類型應(yīng)該是構(gòu)造新數(shù)列法。分式遞推式 ：hra qpaa nnn ????1（ 其中 p、 q、 r、h均為常數(shù)，且 rharqrph ????1,0,）， 都可建立不動(dòng)點(diǎn)方程 . 類型一： 一階線性遞推式 qpaa nn ???1 ( 0,1p ?? pq )（ 對(duì)問題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程 qxx ??p ，解出方程的解pqx ??1,在原遞推式兩邊同時(shí)減去pqx ??1，得到 )1(11 pqappqa nn ??????，構(gòu)造出一個(gè)公比為 p的等比數(shù)列，由此推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式 . 類型二： 分式遞推式da qpaa nnn ???? c1， 數(shù)列 ??na 的特征方程為 ? ? dcx qpxxf ??? ，由 x???dcx qpx ，解出不動(dòng)點(diǎn)設(shè)為 m , n 1. 若 不 動(dòng) 點(diǎn) m = n ， 原 遞 推 式 兩 邊 同 時(shí) 減 去 m ，化解后得dp cmama nn ?????? 2111,推出一個(gè)新等差數(shù)列 {man?1}，公差為dpc?2.由此推導(dǎo)出 na . n?m ,遞推式兩邊分別同時(shí)減去 m,n,再用兩式相除得：na makna ma nnnn ???????11，其中ncp mcp ???k，推出一個(gè)新等比數(shù)列 {na mann??}，公比為ncp mcp ???k. 其他構(gòu)造方法 一種類型的題可以有不同的解法，在構(gòu)造新數(shù)列的過程中，最重要的是轉(zhuǎn)化思想，上述的針對(duì)遞推式的待定系數(shù)法，不動(dòng)點(diǎn)法在高中數(shù)學(xué)中相對(duì)比較容易理解，下面介紹幾種不常用的構(gòu)造新數(shù)列的方法 . 特征根法 類型一 ：一階遞推式 qpaa nn ???1 ， 針對(duì)問遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程,qpxx ?? 稱之為特征方程 ，特征根為 1x . 若 ,11 xa? 則 。 在數(shù)列求通項(xiàng)的有關(guān)問題中，經(jīng)常遇到即非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的求通項(xiàng)問題，特別是給出的數(shù)列相鄰兩項(xiàng)是線性關(guān)系， 數(shù)列遞推式較復(fù)雜 的題型 。 2 數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種推導(dǎo)方法 公式法 類 型一 若題型中已知數(shù)列 { na }為等差或等比數(shù)列，則可直接利用公式求na . 類型二 若已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 ns 與 n 的關(guān)系式 )(nfsn ? ,則利用公式 ??? ?? ??? 211 nSSnSannnn ? ???? 求出數(shù)列的通項(xiàng) . 這兩類型是數(shù)列問題中最直接，最簡(jiǎn)單的解法。 在應(yīng)用舉例中，有些一種類型的題可以用不同的方法解決，這種形式有利于開發(fā)中學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生在解決數(shù)列問題時(shí)從多方面綜合考慮，以找出最簡(jiǎn)便的解法。數(shù) 列可以看作是特殊的函數(shù)，特殊在可以看作定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)當(dāng)自變量依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列的函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式即這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式。 通項(xiàng) na 可以看作是項(xiàng)數(shù) n的函數(shù) )(nfan ? .當(dāng)然，不是所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式，如 ： 一個(gè)學(xué)校的學(xué)生的考試成績(jī)由高到矮組成的數(shù)列，就 很難寫出其通項(xiàng)公式 . 基本數(shù)列的通項(xiàng)公式 高中學(xué)習(xí)的數(shù)列有兩種最基本的數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列 等差數(shù)列：一 般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng) 的差等于同一個(gè) 常數(shù) ，這個(gè)數(shù)列就叫做 等差數(shù)列 .這個(gè)常數(shù) 叫做等差數(shù)列的 公差 ，公差通常用字母 d表示 . 如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為 1a ，公差為 d ，那么這個(gè)數(shù)列可以寫成 ?? ,)1(,2, 1111 dnadadaa ???? 的形式，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 dnaan )1(1 ??? 等比數(shù)列： 如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。 從上述的數(shù)列中可以觀察出， 該數(shù)列為典型的立方數(shù)列，規(guī)律為： 31 ， 32 ，3 ， 34 ， 35 ?，所以我們可以猜想出其通項(xiàng)公式為 3nan? . 當(dāng)然，選擇題和填空題并不要求寫出其解答過程，歸納猜想出來的通項(xiàng)公式只是一個(gè)合理猜想，如若遇到解答題，我們猜想出來的公式就還需要用數(shù)學(xué)歸納法的思想去檢驗(yàn) . 迭代法 所謂迭代法，就是層層代入，用舊的變量遞推新變量的過程，用迭代法解決數(shù)列問題關(guān)鍵是尋找各等式之間的聯(lián)系，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。 類型二 cqnpaa nn ????1 （ p,q,c為常數(shù)， 1?p , 0?pq ) 此類型為類型一的變式，既然類型一能化成等比數(shù)列，那么假設(shè)類型二也能構(gòu)造成等比數(shù)列，假設(shè) 原遞推公式為 )()1(1 BAnapBnAa nn ??????? ， 化簡(jiǎn)得 BApBnApApaa nn ??????? )(1 ， 又因?yàn)? cqnpaa nn ????1 所以，系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得 qApA ?? cBApB ??? 解方程組得 1??pqA ? ?211 ???? p qp cB 由此計(jì)算出 AB 后就構(gòu)造了一個(gè)以 BAa ??1 為首項(xiàng)， p 為公比的等比數(shù)列? ?BAnan ?? . 用待定系數(shù)法求解通項(xiàng)公式， 它的核心是通過“待定”將遞推公式轉(zhuǎn)化為一種新的等比數(shù)列。 分析：觀察題干， )(1 nfaa nn ?
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