數(shù)值分析第二章ppt課件(完整版)
【正文】 ? ????????第 k 次消元后 , 增廣陣變?yōu)? ( ) ( )( ) ( ) ( )1// ( 1 , 2 , . . . , 1 )nnn n n nnk k kk k k j j k kjkx b ax b a x a k n n?????? ? ? ? ??????順序高斯消去法求解 n 元線性方程組的乘除運(yùn)算總次數(shù)為 32( 3 ) / 3n n n???順序高斯消去法計(jì)算過程中出現(xiàn)的 稱為 主元素 . 出現(xiàn) 消元過程就進(jìn)行不下去了 . ()kkka() 0kkka ??即使 detA ≠0， 也可能對某個(gè) k n， 出現(xiàn) . 下面的定理給出了避免出現(xiàn)這種情況的條件。167。 () 0kkka ?定理 順序高斯消去法的前 n?1 個(gè)主元 均不為零的充要條件是 Ax ? b 的系數(shù)矩陣 A 的前 n ?1個(gè)順序主子式 ()kkka( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 1 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )120 ( 1 , 2 , .. ., 1 ) .kkkk k k ka a aa a aD k na a a? ? ? ?證 因?yàn)?, 第 k 個(gè)順序主子式 Dk 等于前 k 個(gè)主元之積 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )1 1 2 2 .kk k kD a a a?例子 此式 解釋 又第 k 個(gè)主元被順序主子式所確定 : ( 1 )11 1()1,/ , 2 , 3 , .. ., .?? ??? ???? kk k k kaDa D D k n?注解 ： 方程組 () 的系數(shù)矩陣 A 的 n 個(gè)順序主子式 Dk 均不為零 ，保證了主元均不為零 , 使順序消去法得以進(jìn)行。 () ( 1 , 2 , . . . , 1 )kkika k n??定理 設(shè)方程組 () 的系數(shù)矩陣 A 非奇異，則用列主元素消去法求解方程組時(shí)，各個(gè)列主元素 均不為零。 第 r 行 r 列下方元素全為 0 ?評論 ： 列主元素消去法，所需條件較少，僅僅要求方程組的系數(shù)矩陣 A 非奇異 。 順序高斯消去法的數(shù)值穩(wěn)定性是沒有保證的 ! ?順序主元消去法可能計(jì)算失敗之例 例： 單精度解方程組 ????????211021219xxxx/* 精確解為 和 */
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