含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程(完整版)
【正文】 ??? 可分離變量的一階微分方程 一階線性微分方程 未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程，稱為一階線性微分方程．一階線性微分方程 的一般形式為 )()( xqyxpy ??? ． () 如果 ， ()式化為 0)( ?xq0)( ??? yxpy ． () 一階線性微分方程 () 式稱為一階線性齊次微分方程．當(dāng) 時(shí)， ()式稱為一階線性非齊次微分方程． 0)( ?xq所以方程 ()的通解為 ??? xxpCy d)(e． () 一階線性微分方程 ? ??? Cxxpy lnd)(ln ， 兩邊積分，得 ()分離變量后，化為 xxpyy d)(d ?? ， 一階線性微分方程 ()的通解可以利用 “ 常數(shù)變易法 ”得到：首先求得微分程 ()對應(yīng)的一階線性齊次方程 的通解 ()，然后將 ()式中的任意常數(shù) 換為待定的函數(shù) ．即設(shè)方程 ()的通解為 0)( ??? yxpyC)(xuu ???? xxpxuy d)(e)( ． () 一階線性微分方程 將 ()式和 ()式代入 ()，得 ??? ???? dxxpxxp xpxuxu )(d)( e)()(e)()(e)()( d)( xqxuxp xxp ???即 ， xxqxu xxp de)()( d)(???)e)((e)( d)(d)( ????? ???? xxpxxp xuxuy???? ????? xxpxxp xpxuxu d)(d)( e)()(e)( ． () 因此 將上式代入 ()式，得 )de)((e d)(d)( ? ?? ??? Cxxqy xxpxxp． () 可以驗(yàn)證， ()就是非齊次方程 ()的通解． 一階線性微分方程 ? ?? ? Cxxqxu xxp de)()( d)(， 兩邊積分，得 一階線性微分方程 解 先解對應(yīng)的一階線性齊次方程 02 ??? xyy可得其通解為 ． 2e xCy ??令原方程的通解為 2e)( xxuy ??則
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