李亞普諾夫穩(wěn)定性分析(完整版)
【正文】 ?其平衡狀態(tài)為下列代數(shù)方程組 ????????0032211xxxx的解，即下述狀態(tài)空間中的三個(gè)狀態(tài)為其平衡狀態(tài)。 1 平衡狀態(tài) ? 設(shè)我們所研究的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其中 x為 n維狀態(tài)變量； f(x,t)為 n維的關(guān)于狀態(tài)變量向量 x和時(shí)間 t的線性或非非線性向量函數(shù)。 ? 這是一種較簡捷的方法 ,與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。 ?分析一個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ,一直是控制理論中所關(guān)注的最重要問題。 ? 對于簡單系統(tǒng) ， 常利用經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù) ， 如勞斯 赫爾維茨 (RouthHurwitz)判據(jù) 、 根軌跡判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等 ， 都給出了既實(shí)用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法 。 ? 該方法稱為間接法 ,亦稱為李雅普諾夫第一法。 一、 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 ( , )x f x t?( , ) 0eex f x t?? 如果對于所有 t， 滿足 的狀態(tài) 稱為平衡狀態(tài) （ 平衡點(diǎn) ） 。 ??????????????????????1010003,2,1, eee xxx 對于線性定常系統(tǒng) ， 通常只存在唯一的一個(gè)平衡狀態(tài) ， 因此對于系統(tǒng)而言只有一種穩(wěn)定性 ， 可以一般地說系統(tǒng)是否穩(wěn)定 。 ? x 2 x 1 x e 2 范數(shù)下球域x 1 3） 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 若狀態(tài)方程 所描述的系統(tǒng) , ? 對于任意的 ?0和任意初始時(shí)刻 t0,都對應(yīng)存在一個(gè)實(shí)數(shù) ?(?,t0)0, ? 從任意位于球域 S(xe,?)的初始狀態(tài) x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解 x都位于球域 S(xe, ?)內(nèi) ,則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài) xe是 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 。 ? ? x 2 x 1 x (0 ) 漸近穩(wěn)定 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定 ? ? x 2 x 1 x (0 ) 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性，且有： 00 0lim ( 。 4 大范圍 (全局）漸近穩(wěn)定性 對于線性定常系統(tǒng) ,因?yàn)榫€性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān)，所以如果其平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的 ,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。 實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為 李雅普諾夫函數(shù) 。 如 是負(fù)定的 。 jiij pp ?當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r(shí) ，即 0,0,011112221121111 ???nnnnppppppppp????? 則 正定，且稱 P為正定矩陣。 ? 也就是說 ,若找到滿足上述條件的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù) ,則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ?例 ： 試確定如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。 2) 對任意 3) 當(dāng) ||x||→ ?,有 V(x)→ ?, 則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ?解 顯然 ,原點(diǎn) (0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài) ,如果我們選擇李雅普諾夫函數(shù)為 2221)( xxV ??x則 由于 正半定 ,但其只在 x1=0,x2=0時(shí)才恒為零 ,而在其他狀態(tài)不恒為零 ,因此由 定理 4的 2)可知 ,系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。 定理 5： 線性定常系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定正定實(shí)對稱矩陣 Q陣，存在正定實(shí)對稱矩陣 P陣使（ 1）式成立。 ????????????????????21211210xxxx??2 離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )()1( kxkx ??? ，式中 ?)()()]([ kPxkxkxV T?以 )]([ kxV? 代替 )(xV? ，有 )]([)]1([)]([ kxVkxVkxV ????陣非奇異，原點(diǎn) 考慮狀態(tài)方程，有 )(])[()()()1()1()]([)()()1()1()]([kxPPkxkPxkxkPxkPxkxkPxkxkPxkxkxVTTTTTT??????????????( 1 ) QPPT ?????令)()()]([ kQxkxkxV T???)()1( kxkx ???取正定二次型函數(shù) 是 平衡狀態(tài)。要求設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋系統(tǒng)使系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)時(shí)間小于 2s（ △ =2%），超調(diào)量小于 4%。 它們由環(huán)節(jié) 1/s、 1/(s+1)、 1/(s+2)及 10串聯(lián)而成， 選狀態(tài)變量 x x x3, 它們與各水位成比例 , 可得到狀態(tài)圖。如果 沿任一解的序列不恒為零， Q可取正半定陣。 x Ax?00, ( )x V x??( 1 ) QAPPA T ???令 李雅普諾夫方程 ?說明： （ 1）對
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