李亞普諾夫穩(wěn)定性分析-文庫吧資料
2025-05-22 09:38本頁面
【正文】 ? 此時 ,我們或者 o 繼續(xù)尋找滿足條件的李雅普諾夫函數(shù) ,或者 o 可利用后續(xù)定理的結(jié)論來判別平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性。 ? 也就是說 ,若找到滿足上述條件的一個李雅普諾夫函數(shù) ,則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 2) 當 ||x||→ ?,有 V(x)→ ?, 則該系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ()Vx()Vx()Vx2. 李雅普諾夫第二法的主要定理 ? 下面分別介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性分析的如下 3個定理 : ? 漸近穩(wěn)定性定理 ? 穩(wěn)定性定理 ? 不穩(wěn)定性定理 (1) 定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性定理 1 ?定理 2 設定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其中 xe=0為其平衡狀態(tài)。 若主子行列式含有等于零的情況 ， 則 為正半定或負半定 。 jiij pp ?當?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r ，即 0,0,011112221121111 ???nnnnppppppppp????? 則 正定，且稱 P為正定矩陣。如 是不定的。如 為正半定。 ()Vx ()Vx?正 （ 負 ） 半定性： ， 且 在域 S內(nèi)某些狀態(tài)處有 ， 而其它狀態(tài)處均有 （ ） ， 則稱 在域 S內(nèi)正 （ 負 ） 半定 。 如 是負定的 。 如 是正定的 。 實踐 表明 ，對于大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用 二次型函數(shù) 作為李雅普諾夫函數(shù)。 考慮到能量總大于零，故為 正定函數(shù) 。 實際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達式相當難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為 李雅普諾夫函數(shù) 。 定理 1： 線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù) 對于 系統(tǒng) 1)系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 充要 條件是：系統(tǒng)矩陣 A的全部特征值具有非正實部 ， 且具有零實部的特征值為 A的最小多項式的單根 。 , ( )S??? ? ? ?5 不穩(wěn)定性 ? ? x 2 x 1 x (0 ) 不論 δ 取得得多么小，只要在 內(nèi)有一條從 x0 出發(fā)的軌跡跨出 ，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 當初始條件擴展至整個狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)具有漸近穩(wěn)定性時，稱此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 4 大范圍 (全局）漸近穩(wěn)定性 對于線性定常系統(tǒng) ,因為線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān)，所以如果其平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的 ,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ? 對于穩(wěn)定而言，只要求狀態(tài)軌跡永遠不會跑出球域S(xe,?)，至于在球域內(nèi)如何變化不作任何規(guī)定。 ? 但對于時變系統(tǒng)來說 ,則這兩者的意義很可能不同。 ? 若實數(shù) ?(?,t0)與初始時刻 t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是 一致漸近穩(wěn)定的。 ? ? x 2 x 1 x (0 ) 漸近穩(wěn)定 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定 ? ? x 2 x 1 x (0 ) 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性，且有： 00 0lim ( 。 3 漸近穩(wěn)定性 ? 上述穩(wěn)定性定義只強調(diào)了系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡狀態(tài)附近的解總是在該平衡狀態(tài)附近的某個有限的球域內(nèi) ,并未強調(diào)系統(tǒng)的最終狀態(tài)穩(wěn)定于何處。 注意 ： 按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義 ， 當系統(tǒng)作不衰減的振蕩運動時則認為是穩(wěn)定的 ， 同經(jīng)典控制理論中的線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性定義是有差異的 。如果 δ 與 t0 無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是 一致穩(wěn)定 的。 ? x 2 x 1 x e 2 范數(shù)下球域x 1 3） 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 若狀態(tài)方程 所描述的系統(tǒng) , ? 對于任意的 ?0和任意初始時刻 t0,都對應存在一個實數(shù) ?(?,t0)0, ? 從任意位于球域 S(xe,?)的初始狀態(tài) x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解 x都位于球域 S(xe, ?)內(nèi) ,則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài) xe是 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 。 ? 在工程中常用的是 2范數(shù) ,即歐幾里德范數(shù) ,其定義式為 21 2 1 , 2 ,1()niiixx?? ? ??xx其中 x1,i和 x2,i分別為向量 x1和 x2的各分量。 ? 對 n維空間中任意兩點 x1和 x2,它們之間距離的范數(shù)記為||x1x2||。 2 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 ?在敘述李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義之前 ,我們先引入如下幾個數(shù)學名詞和符號： ? 范數(shù) ? 球域 然后介紹 ? 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性的定義 。 ??????????????????????1010003,2,1, eee xxx 對于線性定常系統(tǒng) ， 通常只存在唯一的一個平衡狀態(tài) ， 因此對于系統(tǒng)而言只有一種穩(wěn)定性 ， 可以一般地說系統(tǒng)是否穩(wěn)定 。 ? 對于非線性系統(tǒng)，可以
高考資料相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1