李亞普諾夫穩(wěn)定性分析(文件)
【正文】 足上述條件的一個李雅普諾夫函數(shù) ,則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ?例 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。 ?例 ： 試確定如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。 ? 這給該定理的應用 ,特別是尋找適宜的李雅普諾夫函數(shù)帶來一定困難。 2) 對任意 3) 當 ||x||→ ?,有 V(x)→ ?, 則該系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ?解 顯然 ,原點 (0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) ,如果我們選擇正定函數(shù) 2221)( xxV ??x則 V(x)對時間的導數(shù) ????????2221221)1( xxxxxx??0)1(222)( 22222211 ?????? xxxxxxV ??? x是負半定函數(shù) ,故由 定理 3判斷該平衡狀態(tài)是否漸近穩(wěn)定。 ?解 顯然 ,原點 (0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài) ,如果我們選擇李雅普諾夫函數(shù)為 2221)( xxV ??x則 由于 正半定 ,但其只在 x1=0,x2=0時才恒為零 ,而在其他狀態(tài)不恒為零 ,因此由 定理 4的 2)可知 ,系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。 四、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 x A x?Axx ??， 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ,A為非奇異矩陣，故原點是唯一平衡狀態(tài)。 定理 5： 線性定常系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定正定實對稱矩陣 Q陣，存在正定實對稱矩陣 P陣使（ 1）式成立。 （ 2）定理 5實際給出了矩陣 A的所有特征值均具有負實部的充要條件。 ????????????????????21211210xxxx??2 離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )()1( kxkx ??? ，式中 ?)()()]([ kPxkxkxV T?以 )]([ kxV? 代替 )(xV? ，有 )]([)]1([)]([ kxVkxVkxV ????陣非奇異，原點 考慮狀態(tài)方程，有 )(])[()()()1()1()]([)()()1()1()]([kxPPkxkPxkxkPxkPxkxkPxkxkPxkxkxVTTTTTT??????????????( 1 ) QPPT ?????令)()()]([ kQxkxkxV T???)()1( kxkx ???取正定二次型函數(shù) 是 平衡狀態(tài)。 ? 解 由式 (1)得如下李雅普諾夫代數(shù)方程 ? 展開后得如下聯(lián)立方程組 : 120( 1 ) ( )0kk?????? ????xx?????????????????????????????????1001000022121211212212121121pppppppp?????????????????1)1(0)1(1)1(222221122111????ppp?TP? P=Q (1) ? 要使 P為正定 ,必須滿足 ? 因此 ,有 即只有當傳遞函數(shù)的極點位于單位圓內(nèi)時 ,系統(tǒng)在平衡點處才是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。要求設計狀態(tài)反饋系統(tǒng)使系統(tǒng)的單位階躍響應時間小于 2s（ △ =2%），超調(diào)量小于 4%。 j 。 它們由環(huán)節(jié) 1/s、 1/(s+1)、 1/(s+2)及 10串聯(lián)而成， 選狀態(tài)變量 x x x3, 它們與各水位成比例 , 可得到狀態(tài)圖。下圖是一個自動檢測示意圖，該系統(tǒng)通過直流電機來驅(qū)動一組探針，使探針穿過零件的引線，以便檢測零件的導通性能、電阻及其它功能參數(shù)。如果 沿任一解的序列不恒為零， Q可取正半定陣。 ? 例 : 試判斷如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性。 x Ax?00, ( )x V x??( 1 ) QAPPA T ???令 李雅普諾夫方程 ?說明： （ 1）對 Q陣的選擇唯一限制是要求其為 對稱正定矩陣 。于是 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判定條件可表示為： 給定一正定矩陣，存在滿足（ 1） 式的正定矩陣 Q。 2) 若該系統(tǒng)在平衡態(tài) xe=0的某個鄰域上是漸近穩(wěn)定的 ,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的 。 (3) 不穩(wěn)定的判別定理 ?定理 4： 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 若存在一個有連續(xù)一階偏導數(shù)的正定函數(shù) V(x,t),滿足： 1） 為正定的 或 2） 為正半定的，且 則平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 注意： 若滿足條件 1），不滿足條件 2），表明平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。 (2)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性定理 2 ?定理 3： 設定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其中 xe=0為其平衡狀態(tài)。 ? 但這也并不意味著該平衡狀態(tài)就并不漸
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