【正文】 ? ? 3 3 2 2 33 3 ,a b a a b a b b? ? ? ? ?,繼 續(xù) 做 乘 法 運 算 可 以 得 到 :? ? 4 4 3 2 2 3 44 6 4a + b a a b a b a b b? ? ? ? ?? ? 5 5 4 3 2 2 3 4 55 1 0 1 0 5 ,a b a a b a b a b a b b? ? ? ? ? ? ?? ?,可 以 看 出 二 項 式 的 次 冪 的 展 開 式 的 各 項 是 有 規(guī)律 的 人 們 分 析 了 上 述 展 開 式 的 特 點 歸 納 出 以 下 命 題 :a b n?? ? ? ?0 1 1n n n r n r r n nn n n na + b C a C a b C a b C b n??? ? ? ? ? ? ? Z + 下 面 用 數(shù) 學 歸 納 法 來 證 明 這 一 命 題 .? ? 10 1 1 111( 1) , ,n = a b a bC a C b a b? ? ? ?? ? ? ?證 明 當 1 時 左 邊右 邊 命 題 成 立 .( 2 ) n = k 假 設 時 , 命 題 成 立 , 即? ? ? ?0 1 1k k k r k r r k kk k k ka b C a C a b C a b C b k??? ? ? ? ? ? ? ? Z + ? ?1 , , :當 時 上 式 兩 邊 同 乘 以 則 得n k a b? ? ?? ? 1 0 1 1 10 1 1 1 1 k k k r k r r k kk k k kk r k r r k k k kk k k ka b C a C a b C a b C abC a b C a b C ab C b? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?利 用 組 合 公 式0 0 0 0111 1 ,和 可 知k k k kC C C C??? ? ?1 1 ,和 可 知k k k kk k k kC C C C? ? ?以 及 組 合 公 式 1 1r r rk k kC C C? ???:上 式 可 化 為? ?? ?1 0 1 1111 1 111 .k kkkkr k r r k kkka b C a C a bC a b C b k? ???? ? ? ???? ? ? ? ??? Z + ? ? ? ?2說 明 當 +1 時 , 命 題 也 成 立 . 由 1 和 可 以 斷 定 , 對 一切 正 整 數(shù) , 命 題 都 成 立 .n = kn通 常 , 這 個 式 子 :? ? ? ?0 1 1n n n r n r r n nn n n na + b C a C a b C a b C b n??? ? ? ? ? ? ? Z + 所表示的定理叫做 二項式定理 ，而等式右邊的多項式叫做 的 二項展開式 . ? ?nab?二、二項展開式的性質(zhì) ? ? nab ? 的 二 項 展 開 式 , 具 有 下 面 的 一 些 性 質(zhì) ：( 1 ) n 項 數(shù) : 共 +1 項 . ( 2) anb n a bn 各 項 冪 指 數(shù) : 的 冪 指 數(shù) 從 起 逐 漸 依 次 減 小 1, 直 到 0 為止 , 的 冪 指 數(shù) 從 0 起 逐 項 依 次 增 加 1, 直 到 為 止 , 每 一 項 里 與 的指 數(shù) 的 和 等 于 二 項 式 的 指 數(shù) .( 3 ) 各 項 系 數(shù) : 由 第 一 項 起 , 各 項 系 數(shù) 依 次 為 :1 2 1, , , , , , ,0n 1 1 .r n nn n n n nC C C C C C???nnnnn 所 以 , 與 展 開 式 的 首 末 兩 項 距 離 相 等 的 兩 項 的 系 數(shù) 相 等 .(! 二 項 式 指 數(shù) 為 奇 數(shù) , 中 間 兩 項 的 二 項 式 系 數(shù) 相 等 且 最 大 ,+1 +1分 別 為 第 , +1 項 , 為 偶 數(shù) , 中 間 一 項 二 項 式 系 數(shù) 最 大 .22即 第 +1 項 .)21( 4) , ,n r rrC a b rT??rn 展 開 式 中 是 第 +1 項 叫 做 二 項 展 開 式 的 通 項記 作公 式 ? ?1 n r rrT C a b r n?? ? ? ?叫做 二項展開式的通項公式 . ,有 了 上 述 公 式 我 們 不 難 展 開 任 何 一 個 二 項 式 并 求 出 它 的某 個 指 定 的 項 .(! 二 項 式 系 數(shù) 與 某 一 項 系 數(shù) 不 同 .) 1 2 nn n n n求 證 nC C C C? ? ? ? ?例 1 證明 在 展 開 式? ? 1 2 2 1 10 1 2n n nn n n n n n n nna b C a C a b C a b C a b C b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 , :中 設 即 得ab??12 0 1 2 nn n n nnn nC C C C C?? ? ? ? ? ?? ? . 求 的 展 開 式 及 通 項 公 式nab例 2解 ? ? ? ? nna b a b??? ? ???? ? ? ? ? ?2120 1 2 nn n n n nn n nC a C a b C a b C b??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 1 2 nn n n nnnn n nC a C a b C a b C b??? ? ? ? ? ?? ? ? ?+1通 項 公 式 rrr n r r n r rnnT C a b C a b??? ? ? ?93 .1 求 的 二 項 展 開 式 中 的 的 系 數(shù)xxx??????例 3解 二 項 展 開 式 的 通 項? ?9 9 299 1r+1 1rrr r r rT C x C xx????? ? ? ?????, 9 2 3 , 3 .根 據(jù) 題 意 得 rr? ? ?3,:因 此 的 系 數(shù) 是x? ? 3 39 9 8 71 843 2 1C ??? ? ? ? ???習 題 思考題： 課堂練習題： ? ? , 。 , 。85A A AAA A A A? ? ?? ? ? ?? ?1( 2 ) 1 .n+1 n n n nA n A n A A n A?? ? ? ? ?解此 外 , 由 排 列 種 數(shù) 的 計 算 公 式 還 可 以 得 出 以 下 關 系 式 :? ? ? ?!! 125mnnAnm? ?:證 明 如 下? ? ? ?11mnA n n n m? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 3 2 111 1 3 2 1n m n mn n n m n m n m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?!!nnm? ?? ?1 2 5 , : 0 ! 1 .為 了 使 公 式 在 時 也 成 立 我 們 規(guī) 定nm? ? ? 例 6 有 5面不同顏色的旗，每次可取 1面、 2面或 3面按不同順序掛在桿上就表示信號，一共可以表示多少種不同的信號？ 25, 2 , , :AAA1535 用 一 面 旗 作 信 號 有 種 用 面 旗 作 信 號 有 種 用 3 面 旗作 信 號 有 種 根 據(jù) 加 法 原 理 所 求 的 信 號 的 種 數(shù) 是? ?1 2 35 5 5 .5+20+60 種 85 種A A A? ? ? ?:.答 一 共 可 以 得 到 85 種 不 同 的 信 號解三、重復排列 前 面 我 們 討 論 了 從 n 個 不 同 的 元 素 中 取 出 m 個 不 同 元 素 的 排列 問 題 , 它 們 有 一 個 共 同 的 特 點 , 就 是 所 取 的 元 素 一 旦 取 過 便 不能 再 重 復 取 出 . 但事實上，有此問題中元素是允許重復選用的，例如編電話號碼，選取的數(shù)字就可以重復，允許元素重復用的排列問題叫做 重復排列 . 在 重 復 排 列 中 , 位 置 共 有 個 , 每 個 位 置 上 可 供 選 擇 的 元 素都 是 個 , 因 此 , 利 用 乘 法 原 理 不 難 得 出 , 把 個 不 同 的 元 素 排