【正文】 ? ? ? ? ? ? ? 甲工人生產(chǎn)出廢品的均值較小，甲的技術(shù)好。 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 教學(xué)過(guò)程： (一 ) 數(shù)學(xué)期望的概念 先看一個(gè)例子 :一射手進(jìn)行打靶練習(xí) ,規(guī)定射入 區(qū)域 2e 得 2 分 , 射入?yún)^(qū)域 1e 得 1分 ,脫靶即射入 區(qū)域 0e 得 0 分 .設(shè)射手一次射擊的得分?jǐn)?shù) X是一個(gè) e1 e0 隨機(jī)變量，而且 X的分布律為 P{X=k}= kp ,k=0,1,2 現(xiàn)射擊 N次，其中得 0分 0a 次，得 1分 1a 次，得 2分 2a 次， 0a +1a + 2a = N次得分的總和為 0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射擊的得分?jǐn)?shù)為 ???????? 2 0210 210 k kNakN aaa ，因?yàn)楫?dāng) N充分大時(shí) , 頻率 kp概率穩(wěn)定值 ?? ??Na k 。 【 本章重點(diǎn) 】 數(shù)學(xué)期望與方差的概念、性質(zhì)與計(jì)算方法；求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的方法；二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差。 167。即 ()EX ＝ ()xf x dx????。 (2) 因?yàn)?5個(gè)電子裝置并聯(lián)，所以整機(jī)壽命 ? ?54321 ,m a x XXXXXM ? 的分布函數(shù)為? ? ? ?? ? ? ?????? ? ???? ? .0,0 ,0,1 55m a x x xexFxF x ?，因而 N 的概率密度為 ? ? ? ?????????? ??.0,0,0,1 45m a x xxeexf xx ???，于是 N 的數(shù)學(xué)期望為 ? ? ? ? ???? 601371)( 0 45m a x ???? ?? ?? ?????? dxeexdxxxfNE xx。若顯陽(yáng)性，則再將對(duì)這 k 個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)，這樣，這 k個(gè)人的血總共要化驗(yàn) k+1 次 ,假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)顯陽(yáng)性的概率為 p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的。這時(shí)，可以通過(guò)下面的定理來(lái)求 W的數(shù)學(xué)期望。)]([ dxxfxgdxxfxgdyyhyhyf x?? 綜合上兩式，（ ）得證。 2 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量， C 是常數(shù)，則有 ( ) ( )E CX CE X? 3 設(shè) X 、 Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y? ? ? 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況。 （五） 一些常用分布的數(shù)學(xué)期望 計(jì)算可得一些常用分布的數(shù)學(xué)期望 1． 0— 1 分布 X 0 1 kP 1－ p p ( ) 0 (1 ) 1E X p p p? ? ? ? ? ? 2． 二項(xiàng)分布 ( , ) ( )X b n p E X np?則 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 3． 泊松分布 ~ ( )X ?? ，則 ()EX?? 計(jì)算： 10 1 1() ! ( 1 ) ! ( 1 ) !K K KK K KE X K e e e e eK K K? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ?＝ 4． 均勻分布 X～ U[ ,ab]，則 ()2abEX ?? 5． 指數(shù)分布 X服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布，則 ()EX?? 。隨機(jī)變量的方差概念及性質(zhì)、具體分布的方差的計(jì)算。即 ()DX ? ()Var X ? ? ?2[ ( )]E X E X? 。 解 :E（ X） =0 20 設(shè) X 是隨機(jī)變量， C是常數(shù)，則有： D（ CX） =C2D（ X） 30 設(shè) X， Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(XE(X))(YE(Y)). 特別，若 X， Y相互獨(dú)立，則有： D（ X+Y） =D（ X） +D（ Y） 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況。任取一只活塞，任取一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率。 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 教學(xué)目的： 使學(xué)生 理解掌握協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì)，熟記相關(guān)系數(shù)的含義。 當(dāng) 0XY? ? 時(shí)，稱 X 與 Y 不相關(guān)。事實(shí)上， X 和 Y 具有關(guān)系： Y=X2， Y的值完全可由 X 的值所確定。 （ 4）若 E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}, k,l=1,2?，存在，則稱它為 X和 Y的 k+l 階混合中心矩 。 （ 3） 若（ X1,X2,? ,Xn）服從 n維正態(tài) 分布，設(shè) Y1, Y2,? ,Yk是 Xj(j=1,2,? ,n)的線性函數(shù)，則（ Y1, Y2,? ,Yk）也服從多維正態(tài)分布 . （ 4） 設(shè)（ X1,X2,? ,Xn）服從 n 維正態(tài)分布，則“相互獨(dú)立與“ X1,X2,? ,Xn 兩兩不相關(guān)”是等價(jià)的。 n 維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣 (covariance matrix) （ 1）二維隨機(jī)變量（ X1,X2）有四個(gè)二階中心矩（設(shè)它們都存在），分別記為 11c =E{[X1E(X1)]2}, 12c =E{[X1E(X1)] [X2E(X2)]} 21c = E{[X2E(X2)] [X1E(X1)] }, 22c =E{[X2E(X2)]2}. 則稱矩陣 C= ???????? 2221 1211 cccc 為（ X1,X2） 的協(xié)方差矩陣。 解 230 12 4 0 1( ) ( , )0xxy dy x xf x f x y dy????? ? ? ???? ?????其 它 1 30 4( ) 4 5E x x x dx? ? ?? 1 2212 12 ( 1 ) 0 1( ) ( , ) 0yy y dx y y yf y f x y dx???? ? ? ? ? ???? ?????其 它 1 20 3( ) 1 2 (1 ) 5E y y y yd y? ? ?? 11250 0 0 1( ) 1 2 3 2xE x y d x x y y d y x d x? ? ? ?? ? ? 4 3 1( ) ( ) ( ) ( 5 5 5 0C o v X Y E X Y E X E Y? ? ? ? ?1） = 2 又 12 2 30 2( ) 4 3E x x x dx? ? ?? 所以 2 2 22 4 2( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 5D x E x E x? ? ? ? ? 112 2 2 4 500 2( ) 1 2 ( 1 ) 1 2 ( ) 5E y y y y d y y y d y? ? ? ? ??? 2 2 22 3 1( ) ( ) ( ) ( )5 5 2 5D y E y E y? ? ? ? ? 1( ) 6504( ) ( ) 2 175 25XYCo v X YD X D Y? ? ? ? 課堂練習(xí) P141 2 26 課后作業(yè) P141 2 29 167。反之，若 X 與 Y 不相關(guān)， X 與 Y 卻不一定相互獨(dú)立 ,該性質(zhì)說(shuō)明，獨(dú)立性是比不相關(guān)更為嚴(yán)格的條件。 教學(xué)過(guò)程： 對(duì)于二維隨機(jī)變量 ),( ?? ，我們除了討論 ? 與 ? 的數(shù)學(xué)期望與方差外，還需要討論描述 ? 與 ?之間相互關(guān)系的數(shù)字特征 —— 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)。這一不等式稱為 切比雪夫（ Chebyshev）不等式 。 由例 2 知 E(X k)=p , D(X k)=p(1p),k=1,2, ?， n，故知 又由于 X1， X2，? ， X n相互獨(dú)立，得 X k 0 1 p k 1p p 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 例 7 ：設(shè) X~N（μ，σ 2），求 E（ X）， D（ X）。 p=p ， E（ X2） =02隨機(jī)變量 X 的方差表達(dá)了 X 的取值與其均值的偏離程度。它描述了隨機(jī)變量一切可能取值的平均水平。 （六）小結(jié) 描述變量的平均值的量 — 數(shù)學(xué)期望 離散型 —— 若 X ～ ? ?kkP X x p?? 則 ()EX ＝1 kkk xp??? （絕對(duì)收斂） 連續(xù)型 —— 若 X ～密度函數(shù) ()fx ，則 ()EX ＝ ()xf x dx???? （絕對(duì)收斂） 數(shù)學(xué)期望 ()EX描述隨機(jī)變量 X 取值的平 均大小，要掌握數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算數(shù)學(xué)期望，掌握幾種常用分布的數(shù)學(xué)期望。 證 ：證 3和 4， 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 f(x,y)，其邊