【正文】 s= ? ?? ?? ?1221 ssbslsslb ?????? ，令 ? ?? ?XaEdsd s =0，得 ? ?? ?lbbslss ??? 21 ，即當(dāng) ? ?? ?lbbslss ??? 21 （公斤）時(shí)獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大。 例 12 設(shè)一電路中電流 I（ A）與電阻 R（Ω）是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為：? ? ? ? ????? ?????? ???,0,3r0,9rrh,0,1i0,2iig 2其它其它，試求電壓 V=IR 的均值。 使學(xué)生理解掌握方差的性質(zhì)，能熟練計(jì)算具體分布的方差，進(jìn)一步熟記常見分布的方差。由此可見，我們有必要研究隨機(jī)變量取值與其 數(shù)學(xué)期望值的偏離程度 —— 即方差。對(duì)正態(tài)隨機(jī)變量，結(jié)論也成立。 例 4 設(shè) X~U（ a,b），求 D（ X）。 5中例 1 知道，若 X I ~N（μ ,σ i2）， i=1,2,?， n,且它們它們獨(dú)立，則它們的母性組合： C1X1+C2X2+? +C n X n（ C1， C2，?， C n是不全為 0的常 差的性質(zhì)知道：數(shù)）仍然服從正態(tài)分布，于是由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)知道： 1 1 2 2c X c X??? nncX ～ 2211( , )nni i i iiiN c c?????? 這是一個(gè)重要的結(jié)果。 (四 )小結(jié)： 方差 ()DX ? ? ?2[ ( )]E X E X? 描述隨機(jī)變量 X 與它自己的數(shù)學(xué)期望 ()EX 的偏離程度；我們常用公式 22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X??計(jì)算方差 ,注意 2()EX 和 2[ ( )]EX 的區(qū)別。 （ 3） ( , ) ( , )C ov aX bY ab C ov X Y? （ 4） ( , ) ( , ) ( , )C ov X Y Z C ov X Z C ov Y Z? ? ? 3 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 （ 1） 1XY? ? （ 2） 1XY? ? 的充要條件是，存在常數(shù) ,ab，使 { } 1P Y a bX? ? ? XY? 的大小表征著 X 與 Y 的線性相關(guān)程度。這表示 X， Y不存在線性關(guān)系。 （ 2）若 E{[XE(X)]k}, k=2,3?，存在，則稱它為 X的 k 階中心矩 。 (三 ) n 維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì) （ 1） n 維正態(tài)變量（ X1,X2,? ,Xn）的每一個(gè)分量 Xi, i=1,2,? ,n 都是正態(tài)分量；反之，若 X1,X2,? ,Xn都是正態(tài)分量，且相互獨(dú)立，則（ X1,X2,? ,Xn）是 n 維正態(tài)變量。 顯然 C 是一個(gè)對(duì)稱矩陣。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) ：矩、協(xié)方差矩陣的定義及 n維正態(tài)變量的性 質(zhì)。相關(guān)系數(shù)只是 X與 Y間線性相關(guān)程度的一種量度。記為 ( , )CovXY ,即 ( , )CovX Y ＝ { [ ( ) ] [ ( ) ] }E X E X Y E Y?? 而 ( , )( ) ( )XY Co v X YD X D Y? ?稱為隨機(jī)變量 X 與 Y 的相關(guān) 系數(shù)。設(shè) X的概率密度為 f(x)，則有（如下圖） 切比雪夫（ Chebyshev）不等式 也可以 寫成如下的形式： （ ） 這個(gè)不等式給出了在隨機(jī)變量 X的分布未知的情況下事件 {|Xμ |ε }概率的下限的估計(jì)。 Z的概率密度為 因 X=μ +σ Z，即得 E（ X） =E（μ +σ Z） =μ； D（ X） =D（μ +σ Z） =E{[μ +σ ZE（μ +σ Z） ]2}=E（σ 2Z2） =σ 2E（ Z2） =σ 2D（ Z） =σ 2 這就是說，正態(tài)分布的概率密度中的兩個(gè)參數(shù)μ和σ分別就是該分布的數(shù)學(xué)期望和均方差，因而正態(tài)分布完全可由它的數(shù)學(xué)期望和方差所確定。 p=p D（ X） =E（ X2） [E（ X） ]2=pp2=p(1p) 例 3 設(shè) X~π (λ )，求 D（ X）。 2 2 22222( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ]1 [ ( ) ] 1XD X E X E X EEX??????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?） 稱 X? 為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化變量。例如，某廠生產(chǎn)兩類手表，甲類手表日走時(shí)誤差均勻分布在 10~10 秒之間；乙類手表日走時(shí)誤差均勻分布在 20~20 秒之間，易知其數(shù)學(xué)期望均為 0，即兩類手表的日走時(shí)誤差平均來說都是 0。 布置作業(yè) P138 3， 10 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 167。如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車，以 X表示停車的次數(shù)，求 E（ X）（設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）。 解 ： ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????? ????1010 31,XYE dx dyyxxydx dyyxx y f 例 7 按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)商品，每售出一公斤獲利潤(rùn) b元。 5 中的（ ）式知道隨機(jī)變量 Y=g(X)的概率密度為 ??? ??? . ,0 ),(39。顯然， p愈小這種方法愈有利。 分析 ： 第一 車 8:30 到站 10 分鐘 ,第一 車 8:50 到站 30分鐘 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 解 設(shè)旅客候車的時(shí)間為 X(以分記 )，則 X 的的可取值為 50、 70、 90. 且 P{X=10}=P“第一班車 8： 30 到站” =63. P{X=30}= P“ 第一班車 8： 50到站” =62. P{X=50}= P“第一班車 8： 10到站，且第二班車 9： 10 到站” = 3616161 ?? P{X=70}= P“第一班車 8： 10 到站，且第二班車 9： 30 到站” = 3636361 ?? P{X=90}= P“第一班車 8： 10 到站，且第二班車 9： 50 到站” = 3626261 ?? 即 X的分布列為 X 10 30 50 70 90 Pk X的數(shù)學(xué)期望為 所以若旅客 8:20 到站，則他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為 (分 )。 例 2 有 5個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命 Xk(k=1,2， 3， 4， 5)服從同一指數(shù)分布，其概率密度為 ? ????????? ?.0,0,0,1xxexf x ?? ， 0?? ， (1)若將這 5個(gè)電子裝置 串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命（以小時(shí)記） N的數(shù)學(xué)期望。 所以當(dāng) N充分大時(shí) , 平均數(shù) ???? ??20k kk pxx穩(wěn)定值 。 【 本章難點(diǎn) 】 數(shù)學(xué)期望與方差的概念計(jì)算方法；隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法；協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法 【 學(xué)時(shí) 分配】 79學(xué)時(shí) 分布函數(shù) : )()( xXPxF ?? —— 全面描述隨機(jī)變量 X取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 描述變量的平均值的量 —— 數(shù)學(xué)期望， 描述變量的離散程度的量 —— 方差。 :設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 ()fx，若積分 ()xf x dx????絕對(duì)收斂，則稱積分 ()xf x dx????的值為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望，記為 ()EX 。 因?yàn)?5個(gè)電子裝置串聯(lián)，所以整機(jī)壽命 ? ?54321 ,m in XXXXXN ? 的分布函數(shù)為 ? ? ? ?? ? ??? ??????? ? .0,0 ,0,111 55m in xxexFxF x ?，因而 N的概率密度為 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 ? ? ??? ??? ? .0,0 ,0,55m in xxexf x ?? ，于是 N的數(shù)學(xué)期望為 , ? ? 5)( 0 55m in ??? ??? ?? ?? ????? dxexdxxxfNE x。（ 2）按 k個(gè)人一組進(jìn)行分組 .把 k個(gè)人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如 果這混合血液顯陰性反應(yīng)，就說明 k 個(gè)人的血都顯陰性反應(yīng)，這樣，這 k 個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次。 （三） 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知 X的分布，求 Y=g(X) 的數(shù)學(xué)期望 E(Y) 我們經(jīng)常需要求隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，例如飛機(jī)機(jī)翼受到壓力 W=kV2（ V是風(fēng)速