【正文】 變量或的分布函數(shù)?！? 若X和Y相互獨立，則 ，有 特別地，將 代入上式，有從而r = 0。(3)判斷與是否相互獨立?解(1) 由與的聯(lián)合概率分布得關(guān)于的邊緣概率分布12(2)在時, 的條件概率分布為又故在時，的條件概率分布可類似求得(2) 因而 即所以, 與不獨立.二、連續(xù)型隨機變量的條件分布(X,Y)是二維連續(xù)型隨機向量，由對任意 有所以不能直接用條件概率公式得到條件分布若則 若則＝2條件密度函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)X和Y相互獨立. 條件概率密度＝邊緣概率密度例2:設(shè)二維隨機變量的概率密度是求條件概率密度,及解: 故當(dāng)時,在的條件下, 的條件概率密度為故當(dāng)時,在的條件下, 的條件概率密度為當(dāng)時例3: 設(shè)數(shù)在區(qū)間隨機取值，當(dāng)觀察到時，.解： 練習(xí)1設(shè)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為 求X的邊緣分布及解：當(dāng)時, 當(dāng)時, 熟練時，被積函數(shù)為零的部分可以不寫。由已知的概率密度為則的分布函數(shù)為當(dāng)時，（圖39（1）） 圖39（1） 圖38（2）當(dāng)時，（圖39（2）） 當(dāng)時，（圖39（3））綜上得的分布函數(shù) 圖38（3）故的概率密度為2．，的分布設(shè)隨機變量相互獨立,其分布函數(shù)分別為和,和的分布函數(shù)分別記為，由于事件，而相互獨立,所以事件與事件相互獨立，由此可得由于事件，而相互獨立,所以事件與事件相互獨立，由此可得上述結(jié)果容易推廣到個相互獨立的隨機變量的情況，設(shè)是個相互獨立的隨機變量，其分布函數(shù)分別為， ，則的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為特別地，當(dāng)相互獨立且具有相同分布函數(shù)時有，例5 設(shè)系統(tǒng)由兩個相互獨立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為（1）串聯(lián)，（2）并聯(lián)，（3）備用（當(dāng)系統(tǒng)損壞時，系統(tǒng)開始工作），如圖3—9所示. 設(shè)的壽命分別為, 已知它們的概率密度分別為 其中且 試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出的壽命的概率密度.解 （1）串聯(lián)的情況由于當(dāng)中有一個損壞時，系統(tǒng)就停止工作，所以這是的壽命為由題設(shè)知，的分布函數(shù)分布為 于是，的分布函數(shù)為所以的概率密度為（2）并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng) 都損壞時，系統(tǒng)才停止工作，所以這時的壽命為．于是，的分布函數(shù)為 從而的概率密度為3). 備用時， 由于當(dāng)系統(tǒng) 損壞時系統(tǒng)才開始工作，這時整個系統(tǒng)的壽命是和兩者壽命之和，即由和相互獨立，的概率密度當(dāng) 時，；當(dāng) 時，有例6:設(shè)隨機變量相互獨立且都服從具有同一參數(shù)的分布，試求的概率分布．解　由于每個可能取的值為0,1，則所有可能取值為由相互獨立知，以某一特定方式?。ㄈ缜皞€取1，后個取0），由概率的有限可加性有.即服從.反過來，可以證明，一個服從以為參數(shù)的二項分布的隨機變量可以看作個相互獨立且都服從參數(shù)為的分布的隨機變量之和，即把一個隨機變量分解成有限個隨機變量之和，這是在處理概率論的有關(guān)問題時常用的方法．{了解商的分布：連續(xù)型隨機變量商的分布 于是練習(xí)1:設(shè)與相互獨立, 且均在區(qū)間上服從均勻分布, 求的密度函數(shù).解： 解法二: 由卷積公式，得為確定積分限, 先找出被積函數(shù)不為零的區(qū)域 2設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機變量, 其概率密度函數(shù)為如果各周的需要量相互獨立, 求兩周需要量的概率密度函數(shù).解 分別用和表示第一、二周的需求量 則 從而兩周需求量 利用卷積公式計算.當(dāng)時, 若 則 若 則 從而當(dāng)時, 若 則 若 即 則故 從而第四章 隨機變量的數(shù)字特征前面討論了隨機變量的分布函數(shù), , 人們并不需要去全面考察隨機變量的變化情況, , 在評價某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時, 通常只要知道該地區(qū)糧食的平均產(chǎn)量。解 :因 及和相互獨立，故由卷積公式得的概率密度為令得 即一般，若相互獨立，且 由卷積公式可知仍然服從正態(tài)分布且這一結(jié)論還能推廣到個相互獨立的正態(tài)隨機變量之和的情況，即且它們相互獨立，則它們的和仍然服從正態(tài)分布，且有例4 設(shè)隨機變量與相互獨立，其概率密度分別為，求隨機變量的密度。這個分布就是條件分布一 、離散型隨機變量的條件概率分布1條件分布律定義其概率分布為邊緣概率分布為 設(shè)概率分布，＝＝，概率分布 .條件概率分布具有概率分布的以下特性：1) ；條件分布函數(shù)定義對固定的性質(zhì)和相互獨立條件分布律＝邊緣分布律例1 設(shè)與的聯(lián)合概率分布為 Y X0200120 (1)求關(guān)于的邊緣概率分布。 (2) 兩個邊緣密度.解 (1) 由確定 所以 (2) 即2 設(shè)隨機變量和具有聯(lián)合概率密度 求邊緣概率密度.解 3 設(shè)服從單位圓域上的均勻分布, 求X和Y的邊緣概率密度.解當(dāng)或時， 從而當(dāng)時，于是我們得到的邊緣概率密度由和在問題中地位的對稱性, 將上式中的改成 就得到的邊緣概率密度第三節(jié) 隨機變量的獨立性事件與獨立的定義是：若則稱事件與相互獨立 。試求的分布律。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。 隨機變量 一、隨機變量概念的引入為全面研究隨機試驗的結(jié)果, 揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性, 需將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來.1. 在有些隨機試驗中, 試驗的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.例如: 在擲骰子試驗中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示2. 在另一些隨機試驗中, 試驗結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示. 例如: 擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的，可規(guī)定: 用1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上” 二、隨機變量的定義1定義 設(shè)隨機試驗的樣本空間為, 對每個,都有一個實數(shù)與之對應(yīng),.隨機變量通常用英文大寫字母或希臘字母等表示。例6:某工廠有甲、乙、丙三臺機器，．（1）從所有產(chǎn)品中隨機取一件，求所取產(chǎn)品為次品的概率；（2）從所有產(chǎn)品中隨機取一件，若已知取到的是次品，問此次品分別是由甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)的概率是多少？解:1）設(shè)＝“取出的產(chǎn)品為次品” 又設(shè)＝“所取產(chǎn)品來自甲臺”，＝“所取產(chǎn)品來自乙臺”，＝“所取產(chǎn)品來自丙臺”．由于 ,兩兩互不相容，所以且也兩兩互不相容，于是又已知,故所求概率, 　　定理3(全概率公式)：設(shè)隨機試驗Ｅ的樣本空間為Ω，為的任意事件，是Ω的一個完備事件組，（即且兩兩互不相容），且，則　全概率公式說明，在復(fù)雜情況下直接計算不易時，可根據(jù)具體情況構(gòu)造一完備事件組，使事件發(fā)生的概率是各事件）發(fā)生的條件下引起事件發(fā)生的概率的總和．若已經(jīng)觀察到一個事件已經(jīng)發(fā)生，再來研究事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性的大小，就需要給出貝葉斯公式．定理4（貝葉斯公式）　設(shè)為一完備事件組，且．則對任一事件，有例7:，據(jù)以往記錄，某種診斷該疾病的試驗具有如下效果，被診斷患有該疾病的人試驗反應(yīng)為陽性的概率為，在普查中發(fā)現(xiàn)某人試驗反應(yīng)為陽性，問他確實患有該疾病的概率是多少？解　設(shè)事件＝“試驗反應(yīng)為陽性”，“被診斷者患有此疾病”，則＝“被診斷者不患有此疾病”．由已知，,　由全概率公式　　再由貝葉斯公式，所求概率例8:玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率相應(yīng),．一顧客欲買一箱玻璃杯，在購買時，顧客隨機地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回．試求：（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率；（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率．解　設(shè)＝“顧客買下該箱玻璃杯” “箱中恰有只殘次品”顯然， 為Ω的完備事件組，由題意，　　（１）由全概率公式得(2)由貝葉斯公式練習(xí)1:設(shè)有五個壇子，大號壇子兩個，各裝兩個白球一個黑球，中號壇子兩個，各裝三個白球一個黑球，小號壇子一個，裝有十個黑球。 (1/6)2在線段上任意取兩個點 B、C，在 B、C 處折斷此線段而得三折線，求此三折線能構(gòu)成三角形的概率。解： ＝因為,所以,而所以練習(xí):設(shè)事件A、B的概率分別為1/1/2，求在下列三種情況下的值（1）A與B互不相容 （2） （3）P（AB）=1/8解：（1）由已知得=P（B）=1/2（2）=P（B）P（A）=1/6（3）=P（BA)=P(BAB)=P(B)P(AB)=3/8167。(C) 甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷。 在正常的大氣壓下，將純凈水加熱到100℃時必然沸騰,向上拋一石子必然下落，異性電荷相互吸引，同性電荷相互排斥等 2隨機現(xiàn)象:在一定條件下我們事先無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象.擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點,拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果.3隨機現(xiàn)象的特點：人們通過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗或觀察下，.4. 隨機試驗 為了對隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性進行研究,就需要對隨機現(xiàn)象進行重復(fù)觀察, 我們把對隨機現(xiàn)象的觀察稱為隨機試驗, 并簡稱為試驗，記為. :1. 可重復(fù)性: 試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行。3和事件或并事件， 積事件或交事件， .事件的差，.注：例如，在例1的中，若記，則， ｝互斥或互不相容.事件A和隨機B不能同時發(fā)生.注：.推廣：設(shè)事件滿足稱事件是兩兩互不相容的.7對立事件或互逆事件 若事件和事件中有且僅有一個發(fā)生，即則事件和事件為互逆事件或?qū)α⑹录＠?：設(shè) 求(1) 。樣本空間 , (1) , （2) ,(3) 或 例2: 　袋中裝有5只白球3只黑球，分別按下列方式抽取2只：（1）第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球．這種取球方式叫做不放回抽樣．（2）第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球．這種取球方式叫做放回抽樣．（3）一次任取2只．設(shè)＝“所取2只球均為白球”，＝“所取2只球中一白一黑”，求．解（1）不放回抽樣. 第一次從8只球中抽取一只，不再放回，故第二次從7只球中抽取1只，第二次有4只白球供抽取，所以事件中包含的基本事件數(shù)為，所以 　　從5只白球中任取一只共有5種方法，從3只黑球中任取一只共有3種方法，第一次取得白球第二次取得黑球及第一次取得黑球第二次取得白球構(gòu)成事件，共有種方法， 故　　（2）放回抽樣. 因為每次都是從8只球中抽取，故由乘法原理，基本事件總數(shù)的,又由于兩次都是從5只白球中抽取，故構(gòu)成的基本事件數(shù)為， 因此　　事件包含的基本事件數(shù)：第一次取得白球第二次取得黑球有個基本事件，第一次取得黑球第二次取得白球有個基本事件，故　?。?）一次任取2只因為不考慮次序，將從8只球中抽取2只的可能組合作為基本事件，總數(shù)為 Ａ）滿足概率公理化定義中的三個基本性質(zhì)： 對任一事件，2. 規(guī)范性:3. 可列可加性：設(shè)兩兩互斥注:, 計算條件概率有兩種方法：（1）在樣本空間Ω中，先求，再按定義計算（2）在縮減的樣本空間中求事件Ｂ的概率，可得到例2:一袋中有10只球，其中3只黑球，7只白球，依次從袋中不放回取兩球．（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率．解　記＝“第次取到黑球”（）（1）可以在縮減的樣本空間上計算．因為已發(fā)生，即第一次取得的是黑球，第二次取球時，所有可取的球只有9只．中所含的基本事件數(shù)為9，其中黑球只剩下2只，所以．（2）由于第二次取球發(fā)生在第一次取球之后，故縮減的樣本空間的結(jié)構(gòu)并不直觀，因此，直接在Ω中用定義計算因為又由且與互不相容故　例3:，這種動物已經(jīng)活到20歲時再活到25歲的概率是多少？解　記＝“該動物活到20歲”，＝“該動物活到25歲”，顯然，則．又＝，?。?，?。剑远?、乘法公式1定理１（乘法公式）　設(shè)則有設(shè)則有它表明，兩個事件同時發(fā)生的概率等于其中一個事件發(fā)生的概率與另一事件在前一事件發(fā)生下的條件概率的乘積．推廣：三個事件的乘法公