【正文】 型 ? 多變量場合 ? ， 1980年，向量自回歸模型 ? ， 1987年，提出了協(xié)整（ cointegration） 理論 確定性時(shí)間序列分析方法： 長期趨勢分析、季節(jié)變動分析、循環(huán)波動分析。 ? 時(shí)間序列具有如下幾個(gè)特點(diǎn)： ? 時(shí)間序列中數(shù)據(jù)的位置與時(shí)間有關(guān)，數(shù)據(jù)的取值隨時(shí)間的變化而變化。 ? 時(shí)間序列通常存在前后時(shí)間上的相依性，不一定是相鄰時(shí)刻，從整體上看，時(shí)間序列往往呈現(xiàn)出某種趨勢性或出現(xiàn)周期性變化的現(xiàn)象。隨機(jī)過程也可以簡稱為 過程 ，其中每一個(gè) 元素 Yt都是 隨機(jī)變量 。隨機(jī)過程的平穩(wěn)性可以劃分為嚴(yán)（強(qiáng) )平穩(wěn)和寬（弱）平穩(wěn)兩個(gè)層面。 4. 24. 44. 64. 85. 05. 25. 45. 650 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 45 0 50 0X 平穩(wěn)數(shù)據(jù)示例 常見的隨機(jī)過程 ： ? 白噪聲過程 ：對于隨機(jī)過程 { xt , t?T }, 如果 E(xt) = 0, Var (xt) = ? 2 ? ? , t?T。 注意 ： （ 1 ） 對于 差分 算子 Dkd， 其 上 標(biāo) 表示 差分 次 數(shù)， 其 下 標(biāo) 表示 差 分階 數(shù)。 它們是 自回歸過程 （ AR ） 、移動平均過程 （ MA ） 、自回歸移動平均過程 （ A R M A ） 和單 積（ 整 ） 自回歸移動平均過程 （ A R I M A ） 。 自回歸模型的平穩(wěn)性 1 2 . 2 時(shí)間序列模型的分類 由 A R ( 1) 過程 xt = ?1 xt 1 + ut , | ?1 | 1 有 xt = ut + ?1 ut 1 + ?12 xt 2 = ut + ?1 ut 1 + ?12 ut 2 + … 因?yàn)?ut 是一個(gè)白噪聲過程，所以對于平穩(wěn)的 A R ( 1) 過程 ， E( xt) = 0 V ar( xt) = E( xt)2 = E ( ut + ?1 ut 1 + ?12 ut 2 + …)2 = ?u2+ ?12?u2+ ?14?u2 + … =2111???u2 1 2 .2 時(shí)間序列模型的分類 不同 自 回歸系數(shù)的 A R ( 1 ) 序 列 xt = ?1 xt 1 + ut ,： 25 20 15 1050550 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 1 6420246850 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 0 . 8 3210123450 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 0 . 443210123450 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 0 1 2 . 2 時(shí)間序列模型的分類 對于自回歸過程 AR( p ) ，如果特征方程 ? ? L ) = 0 的 所有根的絕對值都大于 1 ，則該過程是一個(gè)平穩(wěn)的過程。 因?yàn)閮蓚€(gè)根都在單位圓之外，所以 xt是平穩(wěn)的隨機(jī)過程。 3210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 1 ( t h e t a = 0 . 4 )432101234525 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 2 ( t h e t a = 0 . 9 ) 43210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 3 ( t h e t a = 0 . 4 )43210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 4 ( t h e t a = 0 . 9 ) 自回歸模型與移動平均模型的關(guān)系 ? 以上的分析說明，一個(gè)平穩(wěn)的 AR(p)模型可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)無限階的移動平均模型；一個(gè)可逆的 MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無限階的自回歸模型。 642024650 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0A R M A ( 1 , 1 ) 0 .0 3 0 .0 2 0 .0 11880 1900 1920 1940 1960 1980DY 實(shí)際中對于非季節(jié)時(shí)間序列， A R M A ( p , q ) 過程的最高階數(shù)一般各不會超 過 2 。 雖然自然科學(xué)領(lǐng)域中的許多時(shí)間序列都是平穩(wěn)的，但經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中多數(shù)宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列卻都是非平穩(wěn)的，即其均值與方差是隨時(shí)間的變化而變化的。 自相關(guān)函數(shù) ：是時(shí)間序列 x t 按滯后期順序 0, 1, 2, ... 排列的 自 相關(guān) 系數(shù)列， ? 0 , ? 1 , ? 2 , .. . 。 偏 自相關(guān)函數(shù) ： 是時(shí)間序列 x t 按滯后期順序 1, 2, ... 排列的偏 自相關(guān) 系數(shù)列， ? 11 , ? 22 , ? 33 , ... 。 Ddy t 表示對 y t 進(jìn)行 d 次差分 后的 平穩(wěn) 過程 。 2 ． 實(shí)際建模中也要防止過度差分。 模型可取嗎 ？ 止 可取 不可取 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測 時(shí)間序列模型 的建立與預(yù)測 2 5 2 0 1 5 1 050550 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0A R 1 ( p h i = 1 )6420246850 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0A R 2 ( p h i = 0 . 8 )321013450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0A R 3 ( p h i = 0 . 4 )43210123450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0a r 4 ( p h i = 0 )AR(1)序列 與相關(guān)圖 3210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 1 ( t h e t a = 0 . 4 )432101234525 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 2 ( t h e t a = 0 . 9 )時(shí)間序列模型 的建立與預(yù)測 MA(1)序列 與相關(guān)圖 43210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 3 ( t h e t a = 0 . 4 )43210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 4 ( t h e t a = 0 . 9 ) 時(shí)間序列模型 的建立與預(yù)測 表 1 AR MA 過程的自相關(guān)函數(shù)和 偏自相關(guān)函數(shù) 模 型 自相關(guān)函數(shù)特征 偏自相關(guān)函數(shù)特征 AR IM A(1 , 1 , 1 ) ? xt = ?1? xt 1 + ut + ?1ut 1 緩慢地 近似 線性衰減。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 若 ?1 0 ， 負(fù)的平滑式指數(shù)衰減。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 k = 1 , 2 有兩個(gè)峰值 然后按指數(shù) 或正弦 衰減。其他形式時(shí)間序列模型的 預(yù)測方法與此類似。 我國上世紀(jì) 70 年代開始執(zhí)行計(jì)劃生育政策。 （ 3 ）特征根倒數(shù)在單位圓之內(nèi)。 用樣本計(jì)算的均值是 1 。與原表達(dá)式相同。會彈出 E q uati on spe ci f i cat i on 對話框。 中國糧食產(chǎn)量序列（ yt，萬噸 ） 與中國的其他宏觀序列如 G D P 、宏觀消費(fèi)的特征不同，存在著明顯的周期性變化。這背后的原因就是城鄉(xiāng)差別的現(xiàn)狀，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格長期偏低，以及中國人民盡快實(shí)現(xiàn)強(qiáng)國的夢想。 4 0 0 0 2 0 0 002 0 0 04 0 0 050 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05D ( Y ) 6 0 0 0 4 0 0 0 2 0 0 002 0 0 04 0 0 06 0 0 08 0 0 050 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05D ( D ( Y ) )DD(y)過度差分 案例 分析 2 ： 中國糧食產(chǎn)量序列（ yt）的 MA 模型 （ f i l e: 5arm a07 ） 表 1 中國糧食產(chǎn)量差分序列的 5 個(gè) A RI M A 模型估計(jì)結(jié)果 D(y ) AR M A(4 , 4 ) AR (4 ) AR (8 ) M A( 4 ) M A( 1 0 ) ? 6 3 0 . 6 1 4 8 (3 . 2 ) 6 2 8 . 8 2 9 0 (3 . 2 ) 5 7 6 . 8 0 6 1 (1 . 8 ) 6 6 4 . 8 4 3 1 (3 . 5 ) 8 0 5 . 8 1 3 0 (6 . 7 ) AR (4 ) 0 . 3 0 9 6 ( 0 . 6 ) 0 . 2 4 8 2 ( 1 . 7 ) AR (8 ) 0 . 1 6 9 9 ( 1 . 0 ) M A( 4 ) 0 . 0 6 1 0 ( 0 . 1 ) 0 . 1 8 8 0 ( 1 . 3 ) M A( 1 0 ) 0. 8 4 6 6 ( 2 6 . 2 ) R2 0 . 0 5 5 7 0 . 0 5 4 9 0 . 0 2 0 3 0 . 0 4 2 1 0 . 2 4 13 Q (1 5 ) 2 3 . 6 ( 0 . 0 4 ) 2 3 . 9 ( 0 . 0 5 ) 2 3 . 6 ( 0 . 0 5 ) 2 4 . 1 ( 0 . 0 4 ) 1 3 . 4 ( 0 . 5 0 ) T 53 53 49 57 57 MA ( 1 0) 模型估計(jì)結(jié)果最理想。 D yt并不是一個(gè)白噪聲過程。在 13 億人口的基礎(chǔ)上減產(chǎn) 8 160. 5 萬噸與 6. 6 億人口的基礎(chǔ)上減產(chǎn) 5 650 萬噸相比，為什么沒有發(fā)生 196 1 年那樣的大饑荒？根本原因是第 2 次 糧食 大減產(chǎn)沒有伴隨經(jīng)濟(jì)困難，副食品供應(yīng)充足，另外糧食缺口，有能力通過糧食進(jìn)口擬補(bǔ)。 （ 3 ）點(diǎn)擊時(shí)間序列模型估計(jì)結(jié)果窗口中的 V i e w 鍵，選 R es i du al T es t s, C orr el ogr am Q st at i st i cs 功能，在隨后彈出的對話框中指定相關(guān)圖的最大滯后期，比如選 15 ，點(diǎn)擊 OK 鍵，即可得到模型殘差序列的相關(guān)與偏相關(guān)圖以及 Q 統(tǒng)計(jì)量。 已知 2023 年中國人口實(shí)際數(shù)是 27 億人。 （ 3 ） 整理 估計(jì) 式 D yt = 0 .1 429 + 0. 6171 ( D yt 1 429 ) + ut得， Dyt = 47 + 0 .617 1 Dyt 1 + ut 其中 7 是漂移項(xiàng)。 Q ( 10) = 5 . 2 ， 相應(yīng) p =0. 8 。 人口差分序列 D yt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖 （ 1 9 4 9 ? 2 0 0 0 ） （虛線到中心線的距離是 2 (1 /51) = 0 . 2 8 ） （ 1 9 4 9 ? 2 0