高三數(shù)學等差數(shù)列-文庫吧在線文庫
【正文】 as . 如果在兩個數(shù) a、 b 中間插入一個數(shù) A, 使 a、 A、 b 成等差差數(shù)列 , 則 A 叫做 a 與 b 的等差中項 . n 項和性質 {an} 是公差為 d 的等差數(shù)列 a+b A= . 2 (1)若 n 為奇數(shù) , 則 Sn=na中 且 S奇 S偶 = a中 , = . S奇 S偶 n+1 n1 (2)若 n 為偶數(shù) , 則 S偶 S奇 = . nd 2 若 {an} 是公差為 d 的等差數(shù)列 , 則 ? ak, ? ak, ? ak 也成等差數(shù)列 , 且公差為 n2d. k=2n+1 3n k=1 n k=n+1 2n {an}, {bn} 均為等差數(shù)列 , 則 {man}, {man?kbn} 也為等差數(shù)列 , 其中 m, k 均為常數(shù) . 三、判斷、證明方法 。 1 2 (2)Tn=( 2 +1)(12 ). n 2 f(t) 對任意實數(shù) x, y 都有 : f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x +y+2)+3, f(1)=1. (1)若 t 為正整數(shù) , 試求 f(t) 的表達式 。 (2)an+1an=2p0, ∴ an+1ana1=p+q=1。 (2) (1)的逆命題也成立 . 1+2+… +n a1+2a2+… +nan 證 : (1)由已知得 a1+2a2+… +nan= n(n+1)bn. ① 1 2 ∴ a1+2a2+… +nan+(n+1)an+1= (n+1)(n+2)bn+1. ② 1 2 將 ② 式減 ① 式化簡得 : an+1= (n+2)bn+1 nbn. 1 2 1 2 ∴ an= (n+1)bn (n1)bn1= (n+1)bn (n1)(2bnbn+1). 1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ {bn} 為等差數(shù)列 , ∴ bn1=2bnbn+1, bn+1bn 為常數(shù) . ∴ an+1an= (n+2)bn+1 nbn (n+1)bn+ (n1)(2bnbn+1) 1 2 1 2 1 2 1 2 = (bn+1bn) 為常數(shù) . 3 2 故數(shù)列 {an} 也是等差數(shù)列 . 證 : (2) (1)的逆命題為 : 兩個數(shù)列 {an} 和 {bn} 滿足 : 1+2+… +n a1+2a2+… +nan bn= , 若 {an} 為等差數(shù)列 , 則數(shù)列 {bn} 也是等差數(shù)列 . 證明如下 : ∵ {an} 是等差數(shù)列 , ∴ 可設 an=an+b(a, b 為常數(shù) ). ∴ nan=an2+bn. ∴ a1+2a2+… +nan=a(12+22+… +n2)+b(1+2+… +n). 1+2+… +n a1+2a2+… +nan ∵ bn= = an(n+1)(2n+1)+ bn(n+1) n(n+1) 1 2 1 2 1 6 1 3 = a(2n+1)+b. ∴ bn+1bn= a, 為常數(shù) . 2 3 故數(shù)列 {bn} 也是等差數(shù)列 . {an} 是等差數(shù)列 , 其前 n 項和為 Sn, a3=7, S4=24. (1)求數(shù)列 {an} 的通項公式 。 (2)求公差 d 的值和數(shù)列 {an} 的通項公式 . (1)證 : ∵ a1, a2, a4 成等比數(shù)列 , ∴ a22=a1a4. 而 {an} 是等差數(shù)列 , 有 a2=a1+d, a4
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