數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性-文庫吧在線文庫
【正文】 例3 設(shè) 試證明：方程 在區(qū)間 內(nèi)有實根. 教學(xué)要求：（１）使學(xué)生深刻理解函數(shù)在一點連續(xù)包括單側(cè)連續(xù)的定義，并能熟練寫出函數(shù)在一點連續(xù)的各種等價敘述；（２）應(yīng)使學(xué)生從分析導(dǎo)致函數(shù)在一點不連續(xù)的所有可能的因素出發(fā)，理解函數(shù)在一點間斷以及函數(shù)間斷點的概念，從反面加深對函數(shù)在一點連續(xù)這一概念的理解力并能熟練準(zhǔn)確地識別不同類型的間斷點；（３）明確函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)是以函數(shù)在一點連續(xù)的概念為基礎(chǔ)的，使學(xué)生清楚區(qū)分“連續(xù)函數(shù)”與“函數(shù)連續(xù)”所表述的不同內(nèi)涵。例如，可以舉出這樣的例子，它在(0,1)內(nèi)的任意無理數(shù)點都連續(xù)但卻無法用圖形表示出來（如Rieman函數(shù)）。２．例子例１．在處連續(xù)。３） 等價定義２：函數(shù)在點連續(xù)，當(dāng)時。同時，由定義可知，函數(shù)在某點是可連續(xù)，是函數(shù)在這點的局部性質(zhì)。２．例子（１）函數(shù)是Ｒ上的連續(xù)函數(shù)；（２）函數(shù)在內(nèi)每一點都連續(xù)。“可去間斷點”名稱何來？通過一定的手段，可以“去掉”。３） 第二類間斷點 函數(shù)的所有其它形式的間斷點（即使稱函數(shù)至少有一側(cè)極限不存在的點）稱為函數(shù)的第二類間斷點。一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì)１（局部有界性）若在連續(xù)。）例１． 求.2) 若復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)當(dāng)時極限為a，又外函數(shù)在連續(xù)，上面的等式仍成立。定理２ 一切基本初等函數(shù)都是其定義域上連續(xù)函數(shù)。２給出。思考 ①考慮函數(shù)，上述結(jié)論成立否？說明理由；②要存在最大（?。┲祷蛴薪缡欠褚欢ㄒB續(xù)？是否一定要閉區(qū)間呢？結(jié)論 上述性質(zhì)成立的條件是充分的，而非必要的。例６．證明：若，為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù)，使得。例如圖左。的取值只與有關(guān)，而與無關(guān)，或者說，存在適合于Ｉ上所有點的公共的，記作，它對任意的都適用。（２），證明 在內(nèi)是一致連續(xù)的。教學(xué)難點：初等函數(shù)連續(xù)性命題的證明。167。（２） 關(guān)系若在Ｉ上一致連續(xù)，則在Ｉ上連續(xù)；反之不成立（即若在Ｉ上連續(xù)，不一定在Ｉ上一致連續(xù)。但在以后的討論中，有時要求能取到一個時區(qū)間Ｉ內(nèi)所有的點都適用的，這就需要引進(jìn)一個新概念——一致連續(xù)。我們先敘述何謂一致連續(xù)。（如左圖）。一般而言， 在其定義域上不一定有最大（小）值，即使在Ｄ上有界。三 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)l 引 言閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)。（２）.性質(zhì)５（反函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)并連續(xù)，則反函數(shù)在其定義域或上連續(xù)。性質(zhì)３。教學(xué)要求：（１）掌握連續(xù)的局部性質(zhì)（有界性、保號性），連續(xù)函數(shù)的有理運算性質(zhì)，并能加以證明；熟知復(fù)合函數(shù)的連續(xù)和反函數(shù)的連續(xù)性。２） 跳躍間斷點 若存在，但，則稱點為函數(shù)的跳躍間斷點。注 這個定義不好；還不如說：設(shè)在內(nèi)不定義，如果在不連續(xù)，則稱是的不連續(xù)點（或間斷點）。例５．討論函數(shù)在點的連續(xù)性。而在點連續(xù)則要求在某內(nèi)有定義（包括）。設(shè)，——函數(shù)在點的增量。：當(dāng)自變量從向左側(cè)或向右側(cè)作微小改變時，對應(yīng)的函數(shù)值也只作微小的改變；這就是說，當(dāng)自變量靠近時，函數(shù)值就靠近，而當(dāng)時。例如下圖１中的函數(shù)，我們說它是連續(xù)的，而圖２中的函數(shù)在處是間斷的。 例8 設(shè)函數(shù) 在有限開區(qū)間 內(nèi)連續(xù). 則 在內(nèi)一致連續(xù), 在 內(nèi)一致連續(xù). 第四章 函數(shù)的連續(xù)性l 引言在數(shù)學(xué)分析中，要研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)函數(shù)。 范例講析： 例1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù), 且 證明: 在區(qū)間 上至少存在某個 使 一. 3 初等函數(shù)的連續(xù)性（2學(xué)時） 一致連續(xù)的否定: 1． 推論 ( 有界性 ) 例1 求極限 四則運算性質(zhì)： 一、 復(fù)習(xí)：連續(xù)、間斷的含義. 二、講授新課： （一）連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì): 敘述為Th 1—4. 例7 則 在點 連續(xù). : 定義單側(cè)連續(xù), 并圖解. 1 函數(shù)的連續(xù)性（4學(xué)時） 教學(xué)目的：使學(xué)生深刻掌握函數(shù)連續(xù)性的概念和連續(xù)函數(shù)的概念。教學(xué)要求：1. 使學(xué)生深刻理解函數(shù)在一點連續(xù)包括單側(cè)連續(xù)
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