【正文】 右側(cè)作微小改變時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值也只作微小的改變；這就是說，當(dāng)自變量靠近時(shí)，函數(shù)值就靠近，而當(dāng)時(shí)。而在點(diǎn)連續(xù)則要求在某內(nèi)有定義（包括）。注　這個(gè)定義不好；還不如說：設(shè)在內(nèi)不定義，如果在不連續(xù)，則稱是的不連續(xù)點(diǎn)（或間斷點(diǎn)）。教學(xué)要求：（１）掌握連續(xù)的局部性質(zhì)（有界性、保號性），連續(xù)函數(shù)的有理運(yùn)算性質(zhì)，并能加以證明；熟知復(fù)合函數(shù)的連續(xù)和反函數(shù)的連續(xù)性。（２）.性質(zhì)５（反函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)并連續(xù)，則反函數(shù)在其定義域或上連續(xù)。一般而言， 在其定義域上不一定有最大（?。┲?，即使在Ｄ上有界。我們先敘述何謂一致連續(xù)。（２） 關(guān)系若在Ｉ上一致連續(xù)，則在Ｉ上連續(xù)；反之不成立（即若在Ｉ上連續(xù)，不一定在Ｉ上一致連續(xù)。教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)連續(xù)性命題的證明。的取值只與有關(guān)，而與無關(guān)，或者說，存在適合于Ｉ上所有點(diǎn)的公共的，記作，它對任意的都適用。例６．證明：若，為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù)，使得。２給出。）例１． 求.2) 若復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)當(dāng)時(shí)極限為a，又外函數(shù)在連續(xù)，上面的等式仍成立。３） 第二類間斷點(diǎn)　函數(shù)的所有其它形式的間斷點(diǎn)（即使稱函數(shù)至少有一側(cè)極限不存在的點(diǎn)）稱為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。２．例子（１）函數(shù)是Ｒ上的連續(xù)函數(shù)；（２）函數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。３） 等價(jià)定義２：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，當(dāng)時(shí)。例如，可以舉出這樣的例子，它在(0,1)內(nèi)的任意無理數(shù)點(diǎn)都連續(xù)但卻無法用圖形表示出來（如Rieman函數(shù)）。 例3 設(shè) 試證明：方程 在區(qū)間 內(nèi)有實(shí)根. 二. 4. 1. 跳躍間斷點(diǎn)和可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn), 其他情況 即 或 中至少有一個(gè)不存在 稱為第二類間斷點(diǎn).例4《數(shù)學(xué)分析》教案第四章 函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)目的：；；，并能加以證明；，并能清楚地認(rèn)識到函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)與這一區(qū)間上一致連續(xù)的聯(lián)系與區(qū)別。 討論函數(shù) 的間斷點(diǎn)類型.例5局部保號性： 連續(xù)定義中 對 的依賴性 ： 例6一致連續(xù)的判定: 例4 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)且 則 在 內(nèi)有最小值. 與 比較. 因此，為了給出“連續(xù)”的定義，需要對此作進(jìn)一步分析和研究。注：一個(gè)定義是等價(jià)的，根據(jù)具體的問題選用不同的表述方式。在處為左連續(xù)，在處為右連續(xù)，因而它在上連續(xù)。例如，是函數(shù)，的第二類間斷點(diǎn)。（因此時(shí)若的話是顯然的；若，或在無定義，即是的可去間斷點(diǎn)時(shí)，只需對性質(zhì)４的證明做修改：“”為“”即可）。先給出下面的關(guān)于“最大大值”的定義：定義１　設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)，若存在，使得對一切都有（），則稱在Ｄ上有最大（?。┲?，并稱為在Ｄ上的最大（小）值。例７．設(shè)在上連續(xù)，滿足。性 質(zhì)與區(qū)間中每一點(diǎn)及其附近的情形有關(guān)，即只要在區(qū)間中每一點(diǎn)，連續(xù)就行。教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)。要知在整個(gè)區(qū)間的情形，在整個(gè)區(qū)間內(nèi)來找適合定義中的，這種性質(zhì)稱為整體性質(zhì)。四　一致連續(xù)性l 引言在連續(xù)函數(shù)的討論和應(yīng)用中，有一個(gè)極為重要的概念，叫做一致連續(xù)。、。例２ 求極限（１）。２　　連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的：熟悉連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用。函數(shù)，在上是分段連續(xù)的在Ｒ上是分段連續(xù)嗎？　在Ｒ上是分段連續(xù)嗎？三　間斷點(diǎn)及其分類１．不連續(xù)點(diǎn)（間斷點(diǎn)）定義　　定義３　設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，若在點(diǎn)無定義，或在點(diǎn)有定義而不２，不則稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。４．函數(shù)在點(diǎn)有極限與函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)之間的關(guān)系１） 從對鄰域的要求看：在討論極限時(shí)，假定在內(nèi)不定義（在點(diǎn)可以沒有定義）。而在其它點(diǎn)處（如處），情況則完全相反。 例6 設(shè)函數(shù) 和 在區(qū)間I上一致連續(xù). 證明函數(shù) 在區(qū)間 I上一致連續(xù). 例7 設(shè)函數(shù) 在有限開區(qū)間 內(nèi)連續(xù). 則 在有限開區(qū)間 內(nèi)一致連續(xù), 和 存在( 有限 ). 例2 例3 作倒代換 例4 解 I = 例5 解 I