數(shù)學分析第四章函數(shù)的連續(xù)性(已修改)
2025-06-19 20:21 本頁面
【正文】 《數(shù)學分析》教案第四章 函數(shù)的連續(xù)性 教學目的：；；，并能加以證明；，并能清楚地認識到函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)與這一區(qū)間上一致連續(xù)的聯(lián)系與區(qū)別。 教學重點、難點：本章重點是函數(shù)連續(xù)性的概念和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質；難點是一致連續(xù)性的概念與有關證明 。 教學時數(shù)：14學時 167。 1 函數(shù)的連續(xù)性（4學時） 教學目的：使學生深刻掌握函數(shù)連續(xù)性的概念和連續(xù)函數(shù)的概念。教學要求：1. 使學生深刻理解函數(shù)在一點連續(xù)包括單側連續(xù)的定義，并能熟練寫出函數(shù)在一點連續(xù)的各種等價敘述；2. 應使學生從分析導致函數(shù)在一點不連續(xù)的所有可能的因素出發(fā)，理解函數(shù)在一點間斷以及函數(shù)間斷點的概念，從反面加深對函數(shù)在一點連續(xù)這一概念的理解力并能熟練準確地識別不同類型的間斷點；3. 明確函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)是以函數(shù)在一點連續(xù)的概念為基礎的，使學生清楚區(qū)分“連續(xù)函數(shù)”與“函數(shù)連續(xù)”所表述的不同內涵。教學重點：函數(shù)連續(xù)性概念。教學難點：函數(shù)連續(xù)性概念。一、引入新課：通過生活和科學研究中的實例說明學習連續(xù)函數(shù)的必要性。 二、講授新課： （一）函數(shù)在一點的連續(xù)性： 1．連續(xù)的直觀圖解： 由圖解引出解析定義. 2.函數(shù)在一點連續(xù)的定義: 設函數(shù) 在點 某鄰域有定義. 定義 用 例如 [1]P87例1和例2, P88 例3. 定義 用 定義 用 先定義 和 定義 連續(xù)的Heine定義. 定義 ( “ ”定義.) （注：強調函數(shù) 在點 連續(xù)必須滿足的三個條件。）例1 用“ ”定義驗證函數(shù) 在點 連續(xù).例2 試證明: 若 則 在點 連續(xù). : 定義單側連續(xù), 并圖解. Th ( 單、雙側連續(xù)的關系 ) 例3 討論函數(shù)在點的連續(xù)或單側連續(xù)性. （二）間斷點及其分類: 圖解介紹間斷點的分類. 跳躍間斷點和可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點, 其他情況 即 或 中至少有一個不存在 稱為第二類間斷點.例4 討論函數(shù) 的間斷點類型.例5 延拓函數(shù) 使在點 連續(xù).例6 舉出定義在[0,1]上且僅在點 三點間斷的函數(shù)的例. 例7 討論Dirichlet函數(shù) 和Riemann函數(shù) 的連續(xù)性. （三） 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)： 開區(qū)間上連續(xù)， 閉區(qū)間上連續(xù), 按段連續(xù). 167。 2 連續(xù)函數(shù)的性質（6學時） 教學目的：熟悉連續(xù)函數(shù)的性質并能靈活應用。教學要求：1. 掌握連續(xù)的局部性質（有界性、保號性），連續(xù)函數(shù)的有理運算性質，并能加以證明；熟知復合函數(shù)的連續(xù)和反函數(shù)的連續(xù)性。能夠在各種問題的討論中正確運用連續(xù)函數(shù)的這些重要性質；2. 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的主要性質 ，理解其幾何意義，并能在各種有關的具體問題中加以運用；3. 理解函數(shù)在某區(qū)間上一致連續(xù)的概念，并能清楚地認識到函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)與在這一區(qū)間上一致連續(xù)這二者之間的聯(lián)系與原則區(qū)別。教學重點：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質；教學難點：一致連續(xù)的概念。一、 復習：連續(xù)、間斷的含義. 二、講授新課： （一）連續(xù)函數(shù)的局部性質: 敘述為Th 1—4. 1. 局部有界性： 2.局部保號性： 3.四則運算性質： 4.復合函數(shù)連續(xù)性： Th 4 若函數(shù) 在點 連續(xù)，函數(shù) 在點 連續(xù), 且 , 則復合函數(shù)在點 連續(xù). ( 證 ) 註 Th 4 可簡寫為（即在條件滿足的前提下，極限運算與函數(shù)運算可以交換順序。） 例1 求極限 例2 求極限: ⑴ ⑵ 例3 求極限 的連續(xù)性見后 . （二）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質:
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