數(shù)學分析第四章函數(shù)的連續(xù)性-預覽頁
【正文】 ，并能清楚地認識到函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)與在這一區(qū)間上一致連續(xù)這二者之間的聯(lián)系與原則區(qū)別。 局部有界性： 3. 註 Th 4 可簡寫為（即在條件滿足的前提下，極限運算與函數(shù)運算可以交換順序。 例3 求極限 的連續(xù)性見后 .最值性: 先定義最值. Th 6 ( 介值性 ) 關于函數(shù) 等的連續(xù)性 ( [1]P99 E5,6.) 考查函數(shù) 在區(qū)間 作限制 就有對 ,取 這里與有關,有時特記為.本例中不存在可在區(qū)間 上通用的 , 即不存在最小的( 正數(shù) ) .例7 定義 ( 一致連續(xù) ) 順便介紹一致連續(xù)與連續(xù)的關系. 證 Th8 (Cantor)若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在上一致連續(xù).教學要求：深刻理解初等函數(shù)在其定義的區(qū)間上都是連續(xù)的，并能應用連續(xù)性概念以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)加以證明，能熟練運用這一結論求初等函數(shù)的極限。回顧基本初等函數(shù)中, 已證明了連續(xù)性的幾個函數(shù). Th1 一切基本初等函數(shù)都在其定義域上連續(xù). 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限: 一、 若 不妨設 設 , 應用零點定理即得所證. 例5 設函數(shù) 和 在區(qū)間I上連續(xù), 且在I的有理點 ,有 證明: 在I上 .主要講以下幾個問題：１． 什么是“函數(shù)的連續(xù)性”？２． “間斷”或“不連續(xù)”有哪些情形？３． 連續(xù)函數(shù)有哪些性質(zhì)？４． 初等函數(shù)的連續(xù)性有何特點？167。教學難點：函數(shù)連續(xù)性概念。而所謂“不連續(xù)函數(shù)”從幾何上表現(xiàn)為它的圖象在某些點處“斷開”了。從圖２看出，在處，函數(shù)值有一個跳躍，當自變量從左側的近傍變到右側的近旁時，對應的函數(shù)值發(fā)生了顯著的變化。根據(jù)這一分析，引入下面的定義：一 函數(shù)在一點的連續(xù)性１． 函數(shù)在點連續(xù)的定義定義１（在點連續(xù)）設函數(shù)在某內(nèi)有定義，若，則稱在點連續(xù)。例３．討論函數(shù)在點x=0處連續(xù)性。（區(qū)別于“增加”）。如用三種定義，可以證明以下命題：例４．證明函數(shù)在點連續(xù)，其中為Dirichlet函數(shù)。所以換為：.３） 從對極限的要求看：“在點連續(xù)”不僅要求“在點有極限”，而且；而在討論時，不要求它等于，甚至于可以不存在。② 在點連續(xù)的等價刻劃 函數(shù)在點連續(xù)在點既是右連續(xù)，又是左連續(xù)。對于閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間的端點，函數(shù)在這些點上連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù)。命題：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上為連續(xù)函數(shù)。據(jù)此，對函數(shù)的間斷點作如下分類：２．間斷點分類１） 可去間斷點 若，而在點無定義，或有定義但，則稱為的可去間斷點。則是的連續(xù)點。再如是的跳躍間斷點。167。教學重點：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；教學難點：一致連續(xù)的概念。性質(zhì)２（局部保號性）若在連續(xù)，且則對任何正數(shù)，存在某有。問題 兩個不連續(xù)函數(shù)或者一個連續(xù)而另一個不連續(xù)的函數(shù)的和、積、商是否仍舊連續(xù)？性質(zhì)４（復合函數(shù)的連續(xù)性）若在點連續(xù)，記，函數(shù)在連續(xù)，則復合函數(shù)在點連續(xù)。故可用來求一些函數(shù)的極限。（２）基本初等函數(shù)：常量函數(shù)；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù)。例４．求。從幾何上看，這些性質(zhì)都是十分明顯的。例如。１．性質(zhì)性質(zhì)１（最大、最小值定理）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有最大值與最小值。若是介于和之間的任何實數(shù)，則至少存在一點，使得。幾何意義 若點和分別在軸兩側，則連接Ａ、Ｂ的曲線與軸至少有一個交點。證明：存在，使得。即對時，就有。而當離原點較遠時，取大一些。若對任給的，存在一個，使得對任何，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間Ｉ上一致連續(xù)。也即在每一點中可有適合定義中的，這是局部性質(zhì)。４．一致連續(xù)的例子例１． 證明 在上一致連續(xù)。例４． 設區(qū)間的右端點為，區(qū)間的左端點也為（可分別為有限或無限區(qū)間）。教學要求：深刻理解初等函數(shù)在其定義的區(qū)間上都是連續(xù)的，并能應用連續(xù)性概念以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)加以證明，能熟練運用這一結論求初等函數(shù)的極限。 20
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