數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性(完整版)
【正文】 的定義，并能熟練寫出函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的各種等價(jià)敘述；2. 應(yīng)使學(xué)生從分析導(dǎo)致函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)的所有可能的因素出發(fā)，理解函數(shù)在一點(diǎn)間斷以及函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，從反面加深對函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)這一概念的理解力并能熟練準(zhǔn)確地識別不同類型的間斷點(diǎn)；3. 明確函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)是以函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念為基礎(chǔ)的，使學(xué)生清楚區(qū)分“連續(xù)函數(shù)”與“函數(shù)連續(xù)”所表述的不同內(nèi)涵。 Th ( 單、雙側(cè)連續(xù)的關(guān)系 ) 討論Dirichlet函數(shù) 和Riemann函數(shù) 的連續(xù)性. （三） 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)： 1. 4. 例2 求極限: ⑴ ⑵ 2. 介值性: 定義介值.一致連續(xù)性: 否定定義. 例11 證明函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)非一致連續(xù).證法一 ( 用一致連續(xù)的否定定義驗(yàn)證 ) 取 取 與 便有 但 教學(xué)目的：知道所有初等函數(shù)都是在其有定義的區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，并能夠加以證明。初等函數(shù)的連續(xù)性: 習(xí) 題 課（2學(xué)時(shí)） 證 若 , 取 或 即可。從今天開始，我們就來看看這類函數(shù)的特點(diǎn)。由此可見，所謂“連續(xù)函數(shù)”，從幾何上表現(xiàn)為它的圖象是坐標(biāo)平面上一條連綿不斷的曲線。換句話說，當(dāng)時(shí)，以為極限，即。注：自變量的增量或函數(shù)的增量可正、可負(fù)、也可為零。２） 在極限中，要求，而當(dāng)“在點(diǎn)連續(xù)”時(shí)，由于x=時(shí)，恒成立。二 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)１．定義若函數(shù)在區(qū)間Ｉ上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為Ｉ上的連續(xù)函數(shù)。由上述分析可見，若為函數(shù)的間斷點(diǎn)，則必出現(xiàn)下列情形之一：①在點(diǎn)無定義；②不存在；③。 例如，對，故是它的跳躍間斷點(diǎn)。能夠在各種問題的討論中正確運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的這些重要性質(zhì)；（２）掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的主要性質(zhì) ，理解其幾何意義，并能在各種有關(guān)的具體問題中加以運(yùn)用；（３）理解函數(shù)在某區(qū)間上一致連續(xù)的概念，并能清楚地認(rèn)識到函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)與在這一區(qū)間上一致連續(xù)這二者之間的聯(lián)系與原則區(qū)別。（四則運(yùn)算）若和在點(diǎn)連續(xù)，則也都在點(diǎn)連續(xù)。二、初等函數(shù)的連續(xù)性１．復(fù)習(xí)（關(guān)于初等函數(shù)）（１）初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)?，F(xiàn)將將基本的列舉如下。例如：無最大（?。┲?；在［０，１］上也無最大（小）值。性質(zhì)４（根存在定理） 若在上連續(xù)，且和異號（），則至少存在一點(diǎn)，使得。設(shè)在某一區(qū)間Ｉ連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間Ｉ內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。１．一致連續(xù)的定義 定義（一致連續(xù)） 設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。３． 問題：如何判斷一個(gè)函數(shù)是否一致連續(xù)呢？有下面的定理：定理（康托Cantor定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。３ 初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的：知道所有初等函數(shù)都是在其有定義的區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，并能夠加以證明。教學(xué)重點(diǎn)：初等函數(shù)的連續(xù)性的闡明。例２． （１）證明函數(shù)在內(nèi)不一致連續(xù)。２． 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)的比較（１） 區(qū)別：定 義函數(shù)在Ｉ連續(xù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在Ｉ上一致連續(xù)，當(dāng)，時(shí)，對的要求對于Ｉ上的不同的點(diǎn)，相應(yīng)的是不同的，換言之，的取值除依賴于外，還與有關(guān)，由此記為表示與和有關(guān)。一般說來，對同一個(gè)，當(dāng)不同時(shí)，一般是不同的。２．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用舉例 關(guān)健 構(gòu)造適當(dāng)?shù)?；?gòu)造適當(dāng)?shù)拈]區(qū)間。性質(zhì)２（有界性定理）若在上連續(xù)，則在上有界。但要嚴(yán)格證明它們，還需其它知識，將在第七章167。２．初等函數(shù)的連續(xù) 定理１ 任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。注 1) 據(jù)連續(xù)性定義，上述定理可表為：.（即函數(shù)運(yùn)算與極限可以交換次序，條件是函數(shù)連續(xù)利用它可來求一些函數(shù)的極限。u 引言函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而有關(guān)函數(shù)極限的諸多性質(zhì)，都可以移到連續(xù)函數(shù)中來?？扇ラg斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)，其特點(diǎn)的函數(shù)在該點(diǎn)處的左、右極限都存在。例如：是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。若函數(shù)在區(qū)
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