數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性(存儲(chǔ)版)
【正文】 函數(shù)，在上是分段連續(xù)的在Ｒ上是分段連續(xù)嗎？ 在Ｒ上是分段連續(xù)嗎？三 間斷點(diǎn)及其分類１．不連續(xù)點(diǎn)（間斷點(diǎn)）定義 定義３ 設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，若在點(diǎn)無定義，或在點(diǎn)有定義而不２，不則稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。例如，對(duì)，定義，則在連續(xù)。２ 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的：熟悉連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用。注?、僭诰唧w應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，取一些特殊值，如當(dāng)時(shí)，可取，則存在，使得當(dāng)有；②與極限相應(yīng)的性質(zhì)做比較可見，這里只是把“極限存在”，改為“連續(xù)”，把改為其余一致。例２ 求極限（１）。例５ 求。、。注 表明若在上連續(xù)，又的話，則在上可以取得和之間的一切值。四 一致連續(xù)性l 引言在連續(xù)函數(shù)的討論和應(yīng)用中，有一個(gè)極為重要的概念，叫做一致連續(xù)。（對(duì)后者的值就不一定可用于前者。要知在整個(gè)區(qū)間的情形，在整個(gè)區(qū)間內(nèi)來找適合定義中的，這種性質(zhì)稱為整體性質(zhì)。試按一致連續(xù)性定義證明：若分別在和上的一致連續(xù)，則在上也一致連續(xù)。教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)。例３． 證明 在內(nèi)是一致連續(xù)的，而在內(nèi)連續(xù)但非一致連續(xù)。性 質(zhì)與區(qū)間中每一點(diǎn)及其附近的情形有關(guān)，即只要在區(qū)間中每一點(diǎn)，連續(xù)就行。中的曲線，對(duì)接近于原點(diǎn)的，就應(yīng)取小一些。例７．設(shè)在上連續(xù)，滿足。性質(zhì)３（介值定理）設(shè)在上連續(xù)，且。先給出下面的關(guān)于“最大大值”的定義：定義１ 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)，若存在，使得對(duì)一切都有（），則稱在Ｄ上有最大（?。┲担⒎Q為在Ｄ上的最大（?。┲?。３．利用初等函數(shù)的連續(xù)性可計(jì)算極限例３．設(shè)，證明：。（因此時(shí)若的話是顯然的；若，或在無定義，即是的可去間斷點(diǎn)時(shí)，只需對(duì)性質(zhì)４的證明做修改：“”為“”即可）。則在某有界。例如，是函數(shù)，的第二類間斷點(diǎn)。設(shè)是的可去間斷點(diǎn)，且。在處為左連續(xù)，在處為右連續(xù)，因而它在上連續(xù)。５．在點(diǎn)左（右）連續(xù)定義① 定義２：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)（內(nèi)有定義），若（），則稱在點(diǎn)右（左）連續(xù)。注：一個(gè)定義是等價(jià)的，根據(jù)具體的問題選用不同的表述方式。例２．。因此，為了給出“連續(xù)”的定義，需要對(duì)此作進(jìn)一步分析和研究。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)性概念。 例4 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)且 則 在 內(nèi)有最小值. 與 比較. 理論概述： 二、教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)。一致連續(xù)的判定: 例9 驗(yàn)證函 在區(qū)間 內(nèi)一致連續(xù). 連續(xù)定義中 對(duì) 的依賴性 ： 例6 （三）反函數(shù)的連續(xù)性: Th 7 若函數(shù) 在 上嚴(yán)格遞增( 或減 )且連續(xù), 則其反函數(shù)在相應(yīng)的定義域 或 上連續(xù). ( 證 ) Th 4 若函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)，函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù), 且 , 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù). ( 證 )局部保號(hào)性：教學(xué)要求：1. 掌握連續(xù)的局部性質(zhì)（有界性、保號(hào)性），連續(xù)函數(shù)的有理運(yùn)算性質(zhì)，并能加以證明；熟知復(fù)合函數(shù)的連續(xù)和反函數(shù)的連續(xù)性。 討論函數(shù) 的間斷點(diǎn)類型.例5 二、講授新課： （一）函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性： 1．連續(xù)的直觀圖解： 由圖解引出解析定義. 2.《數(shù)學(xué)分析》教案第四章 函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)目的：；；，并能加以證明；，并能清楚地認(rèn)識(shí)到函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)與這一區(qū)間上一致連續(xù)的聯(lián)系與區(qū)別。一、引入新課：通過生活和科學(xué)研究中的實(shí)例說明學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)的必要性。 跳躍間斷點(diǎn)和可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn), 其他情況 即 或 中至少有一個(gè)不存在 稱為第二類間斷點(diǎn).例4 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（6學(xué)時(shí)） 教學(xué)目的：熟悉連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用。復(fù)合函數(shù)連續(xù)性： 1. 推論 ( 零點(diǎn)定理 ) 例4 證明: 方程 在 到 之間有實(shí)根. 例5 設(shè) 是正數(shù), 為正整數(shù). 證明方程 有唯一正實(shí)根. 唯一性的證明用 在 內(nèi)的嚴(yán)格遞增性. 例8 驗(yàn)證函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù). 4.教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)連續(xù)性命題的證明。 二.
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